Тема 5. Простейшие уравнения

Это надо знать

Два уравнения называются равносильными если множества их корней совпадают; в том числе уравнения, не имеющие корней, считаются равносильными. Используется обозначение:

Если все решения первого уравнения являются решениями второго уравнения (множество решений первого уравнения является подмножеством решений второго уравнения),
то второе уравнение называется следствием первого уравнения. Используется обозначение:

Таким образом, два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Теорема 1. Если любое выражение, входящее в уравнение, заменить тождественно равным ему на области определения уравнения выражением, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если к обеим частям уравнения прибавить выражение, имеющее смысл на области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.

Следствие. Если любое слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Если обе части уравнения умножить (разделить) на выражение, имеющее смысл и отличное от нуля на области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.

Линейные уравнения. Уравнение ax=b, где x  — неизвестное, a и b — любые действительные числа, называется линейным уравнением относительно x. Если тогда оно имеет единственное решение  Если  его решением является любое действительное число. Если то линейное уравнение не имеет решений.

Квадратные уравнения. Уравнение

 где x — неизвестное, b и c – любые действительные числа, называется квадратным уравнением относительно x. Выражение  называется дискриминантом уравнения

В зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение на множестве действительных чисел может иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Если  уравнение имеет два корня: если   — один корень: если   — корней нет.

Рациональные уравнения. Уравнения, в которых и левая, и правая части являются рациональными выражениями, называются рациональными уравнениями. При решении рациональных уравнений, содержащих переменную в знаменателе, необходимо учитывать, что знаменатель не может обращаться в нуль. Многие учащиеся допускают ошибки при решении уравнений вида Решим такое уравнение.

Задание.
Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение. Заметим, что числители дробей равны, а знаменатели должны быть отличны от нуля. Тогда либо числители равны нулю, либо знаменатели равны друг другу.

Имеем:

Меньший из найденных корней равен –8.

Ответ: –8.

Иррациональные уравнения, включенные в задания ЕГЭ, являются уравнениями одного из трех типов: «корень нечетной степени равен числу», «корень четной степени равен числу» и «квадратный корень равен линейному выражению». Сформулируем теорему для решения уравнений указанных типов.

Теорема. Пусть m — нечетное натуральное число, n — четное натуральное число, а — любое число,

Тогда:

Иными словами, обе части уравнений указанного вида возводят в степень так, чтобы избавиться от знака корня. Причем возведение в нечетную степень является равносильным преобразованием при любых значениях правой части, а возведение в четную степень является равносильным преобразованием только в случае неотрицательности правой части уравнения.

Показательные уравнения, включенные в задания ЕГЭ, приводятся к одному из двух типов:  или 

Сформулируем теорему для решения уравнений указанных типов.

Решение простейших показательных уравнений. Пусть Тогда:

Логарифмические уравнения, включенные в задания ЕГЭ, приводятся к одному из трех типов:

Для этого могут понадобиться формулы свойств логарифмов:

Сформулируем теорему для решения уравнений указанных типов.

Решение простейших логарифмических уравнений.

Пусть Тогда:

Особенности экзаменационных заданий

При решении многих задач ЕГЭ необходимо установить связь между различными основаниями степени, поэтому будет полезно знать некоторые степени чисел в пределах 1000: