Тема 5. Простейшие уравнения
-
Задание 1 Рациональные уравнения
Найдите корень уравнения
. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.Разбор задания СвернутьПояснение1. Обратим внимание на область определения дроби в правой части уравнения. Дробь не имеет смысла, если ее знаменатель равен нулю. Таким образом, уравнение не имеет решений x таких, что x − 2 = 0.
2. Если знаменатель дроби не равен нулю, мы можем на него домножить обе части уравнения.
Упростим выражения в левой и правой частях уравнения:
«Перенесем» все члены входящих в уравнение выражений в одну сторону (налево), то есть вычтем из обеих частей уравнения его правую часть:
Приведем подобные члены и убедимся, что мы получили квадратное уравнение:
Таким образом первоначальное уравнение равносильно следующей системе:
3. Решим уравнение x2 − 8x + 5 = 0. По теореме, обратной теореме Виета, корни уравнения
Проверим, что корни 3 и 5 удовлетворяют второму условию системы:
Оба корня нам подходят. В ответе требуется записать больший из них. 5 > 3.
Ответ: 5.
-
Пояснение
1. Отметим, что квадратный корень в левой части уравнения определен тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно:
2. Квадратный корень (в левой части уравнения) равен положительному числу (в правой части). Поэтому возведение в квадрат левой и правой части нашего уравнения — равносильное преобразование. Проделаем эту операцию:
Заметим, что в полученном уравнении условие
выполнено, поэтому в дальнейшем его не требуется учитывать дополнительно.3. Выражение в левой части уравнения
не имеет смысла, если знаменатель равен нулю. Таким образом, уравнение не имеет решения такого, что 4x − 54 = 0.Если же знаменатель не равен нулю, мы можем на него домножить обе части уравнения.
4. Упростим выражение в левой части:
Домножим левую и правую части на 49 и разделим их на 2:
Прибавим к обеим частям 27:
Выразим x, разделив обе части уравнения на 2:
5. Проверим, что этот корень удовлетворяет нашему условию 4x−54 ̸= 0 (см.п. 3):
Корень подходит.
Ответ: 87.
-
Задание 1 Тригонометрические уравнения
Решите уравнение
. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.Разбор задания СвернутьПояснение1. Заметим, что
— «табличное» значение тангенса: 
Используя свойства тангенса и тригонометрическую окружность, преобра- зуем уравнение. Особое внимание обратим на то, что углы имеют одинако- вый тангенс через период π.
Выразим это, используя целый параметр k:
2. Умножим обе части уравнения на три, чтобы избавиться от знаменателя:
Раскроем скобки:
Вычтем из обеих частей равенства 2π:
πx = −π +3πk−2π
πx = −3π + 3πk Выразим x, разделив обе части уравнения на π:
x = −3+3k
3. В ответе мы должны получить наибольший отрицательный корень. Заметим, что:
k = 0 ⇒ x = −3
k>0⇒x⩾0
k < 0 ⇒ x < −3
Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число −3.
Ответ: -3.
-
Пояснение
1. Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу сокращенного умножения
Отсюда
2. Вычтем из обеих частей уравнения
:
Вычтем из обеих частей уравнения 16:
Выразим x, разделив обе части уравнения на −8:
Ответ: 3.
-
Пояснение
1. Заметим, что число в правой части уравнения — это степень пятерки.
Перепишем наше уравнение:
2. Функция f(t) = 5t монотонно возрастает, поэтому два ее значения могут совпадать только при совпадении значений аргумента: x − 7 = −3
Отсюда, прибавив к обеим частям уравнения 7, выразим x:
x = −3 + 7 = 4
Ответ: 4.
-
Пояснение
1. Отметим, что логарифм в левой части уравнения определен тогда и только тогда, когда выражение, находящееся под знаком логарифма, положительно: 4 − x > 0.
2. Используя определение логарифма, представим 4 как логарифм по основанию 3:
3. Функция
монотонно возрастает, поэтому два ее значения могут совпадать только при совпадении значений аргумента:
Заметим, что в полученном уравнении условие 4 − x > 0 выполнено, поэтому в дальнейшем его не требуется учитывать дополнительно.
4. Решим уравнение
. Умножим обе части уравнения на −1: 
Выразим x, прибавив к обеим частям уравнения 4:
Ответ: -77.
-
Задание 2 Рациональные уравнения
Решите уравнение
. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.Разбор задания СвернутьПояснение1. Обратим внимание на области определения выражений в левой и правой частях уравнения. Оба выражения — дроби. Дробь не имеет смысла, если ее знаменатель равен нулю. Таким образом, уравнение не имеет решений x таких, что 6x − 5 = 0 или 4x − 11 = 0.
Положим эти условия выполненными.
2. Отметим, что числители дробей в левой и правой части уравнения одинаковы.
Если числитель x + 8 = 0, то равенство выполнено. Если числитель не равен нулю, то должны быть равны знаменатели: 6x − 5 = 4x − 11
Таким образом данное уравнение равносильно следующим условиям:
3. Решим уравнение (I):
Вычтем из обеих частей уравнения −8:
Решим уравнение (II):
Вычтем из обеих частей уравнения 4x и прибавим к ним 5:
Выразим x, разделив обе части уравнения на 2:
4. Проверим, что оба корня −8 и −3 удовлетворяют неравенствам:
5. Таким образом решением уравнения
являются два числа: −8 и −3. В ответе требуется записать больший корень. −3 > −8.Ответ: -3.
-
Пояснение
1. Отметим, что выражение в левой части уравнения принимает значения на всей числовой прямой.
Возведение в пятую степень левой и правой части нашего уравнения — равносильное преобразование. Проделаем эту операцию:
Выразим x, прибавив к обеим частям уравнения 3:
Ответ: -29.
-
Задание 2 Линейные квадратные кубические уравнения
Найдите корень уравнения
.Разбор задания СвернутьПояснение1. Извлечем корень девятой степени из обеих частей уравнения. Получим
2. Выразим x, прибавив к обеим частям уравнения 7:
Ответ: 5.
-
Пояснение
1. Заметим, что
Перепишем уравнение:
2. Функция
монотонно возрастает, поэтому два ее значения могут совпадать только при совпадении значений аргумента:6 + x = 2 · 2x
6 + x = 4x
3. Вычтем x из обеих частей уравнения:
6 + x − x = 4x − x
6 = 3x
Выразим x, разделив обе части уравнения на 3:
Ответ: 2.
-
Пояснение
1. Отметим, что логарифмы в левой и правой части уравнения определены тогда и только тогда, когда выражения, находящиеся под знаком логарифма, положительны:
x + 3 > 0
4x − 15 > 0
2. Функция
монотонно возрастает, поэтому два ее значения могут совпадать только при совпадении значений аргумента:
3. Решим уравнение x + 3 = 4x − 15. Вычтем из обеих частей уравнения 4x:
x+3−4x = 4x−15−4x
3−3x = −15
Вычтем из обеих частей уравнения 3:
3−3x−3 = −15−3
−3x = −18
Выразим x, разделив обе части уравнения на −3:
4. Проверим выполнение остальных условий системы:
6 + 3 > 0,
4 · 6 − 15 > 0
Поэтому x = 6 является корнем первоначального уравнения.
Ответ: 6.
-
Задание 3 Иррациональные уравнения
Решите уравнение
.Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Разбор задания СвернутьПояснение1. Отметим, что квадратный корень в левой части уравнения определен то- гда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно: 12+x ⩾ 0.
2. Квадратный корень в левой части уравнения принимает только неотри- цательные значения. Поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: x ⩾ 0. С учетом этого условия мы можем избавиться от знака корня, возведя обе части уравнения в квадрат:
Заметим, что в полученной системе условие
выполнено 
поэтому в дальнейшем его не требуется учитывать дополнительно.3. Решим уравнение
Вычтем из обеих частей уравнения выражение 
Это квадратное уравнение. По теореме, обратной теореме Виета, корни уравнения
4. Решением системы
являются только такие корни уравнения
которые удовлетворяют условию x ⩾ 0.4 > 0, −3 < 0, поэтому решением системы является только x = 4. Значит решением первоначального уравнения является x = 4.
Ответ: 4.
-
Пояснение
1. Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу сокращенного умножения
Отсюда
2. Вычтем из обеих частей уравнения
:
Вычтем из обеих частей уравнения 1:
Выразим x, разделив обе части уравнения на −2:
Ответ: -7.
-
Пояснение
1. Отметим, что
ни при каких x. Разделим обе части уравнения на 
:
Если степень числителя и знаменателя одинаковая, то частное степеней равно степени частного:
2. Функция
монотонно возрастает, поэтому два ее значения могут совпадать только при совпадении значений аргумента:2 + 5x = 1
Вычтем из обеих частей уравнения число 2:
2 + 5x − 2 = 1 − 2
5x = −1
Выразим x, разделив обе части уравнения на 5:
Ответ: -0,2.
-
Задание 4 Линейные квадратные кубические уравнения
Найдите корень уравнения:
.Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
Разбор задания СвернутьПояснение1. Это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант по формуле
где a,b,c — коэффициенты при второй, первой и нулевой степенях квадратичного многочлена соответственно.
D > 0, поэтому уравнение имеет 2 корня, вычисляемые по формулам:
Подставим числа:
2. В ответе требуется указать меньший корень. 8 < 9.
Ответ: 8.
