Тема 4. Начала теории вероятностей

Четвертое задание Единого государственного экзамена – это задание по теории вероятностей.
Абсолютное большинство задач являются заданиями на события, имеющие конечное число исходов.
В этом случае вероятностью события A называют дробь ,
где числитель m – число исходов, благоприятствующих наступлению события А,
а знаменатель n – число всех возможных исходов того или иного опыта.

Задача. Предположим, наш опыт состоит в том, что три раза бросают монетку.
Найти вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Такая задача решается перебором. Обозначим буквой О событие, соответствующее выпадению орла,
а буквой P - выпадению решки. Выпишем все возможные исходы нашего опыта.
Если мы бросили монетку три раза, то она могла выпасть
все три раза решкой (РРР),
или решка, решка, орел (РРО),
или решка, орел, решка (РОР),
или решка, орел, орел (РОО).
И так далее. Всего возможных вариантов у нас 8.
Три варианта из восьми являются искомыми.
То есть соответствуют условию, что орел выпадает ровно один раз.
Тогда вероятность события, что орел выпадет только один раз, равна
 

Задача решена.

Другой пример задания.
В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменов:
8 из России, 7 из США, и остальные из Дании.
Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием.
Найти вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется спортсменом из Дании.
Итак, наше событие состоит в том, что последний выступающий спортсмен является датчанином.
Сколько всего датчан принимают участие в соревновании?
Из 20 спортсменов 8+7 датчанами не являются. Значит, оставшиеся 5 – это датчане.
Итак, из датчан все 5 человек могут выступать последними, а всего последними могут выступать 20 человек,
то есть любой спортсмен, который принимает участие в соревнованиях.
Тогда искомая вероятность является отношением количества исходов, благоприятствующих событию "последний выступает датчанин", ко всем возможным исходам.


Задача решена.

Очень многие ошибаются в следующей задаче.
В соревнованиях по бадминтону принимают участие 26 спортсменов, из них 10 человек из России,
в том числе и Руслан Орлов.
Какова вероятность события, что Руслан Орлов будет играть с соперником из российской команды?
Как обычно, мы должны определить, сколько всего человек может играть с Русланом Орловым
и сколько россиян может играть с Русланом Орловым.
По условию задачи в соревнованиях принимает участие 26 спортсменов, и один из них - Руслан Орлов. Следовательно, с Русланом Орловым потенциально может встретиться 25 соперников.
В российской сборной 10 человек, и один из них - Руслан Орлов.
Значит, потенциальных соперников Руслана Орлова из российской сборной - 9 человек.
Тогда вероятность события, что Руслан Орлов будет играть с соперником из российской команды, равна:


Задача решена.

Еще одна задача, которая вызывает трудности.
На 100 сумок в среднем приходится 8 дефектных. Спрашивается, какова вероятность того, что купленная сумка окажется качественной? Результат округлите до сотых.
Сделаем небольшое отступление и решим другую задачу.
Из 1 000 насосов в среднем 8 могут подтекать.
Какова вероятность того, что в магазине куплен исправный насос?
Если из 1 000 насосов 8 подтекают, то 992 насоса являются исправными.
И, значит, вероятность купить качественный насос равна:

Что касается сумок, то задание было сформулировано так:
на 100 сумок приходится 8 дефектных.
Это значит, что 8 дефектных не из 100 сумок, а всего сумок 108. А качественных сумок - 100.
Поэтому вероятность покупки качественной сумки равна:

Округляя до сотых, получаем 0,93. Вспомним правила округления: если мы отбрасываем значения, начинающиеся с 5, 6, 7, 8 или 9, то мы увеличиваем число в предыдущем разряде на 1, если же мы отбрасываем меньшие цифры – 0, 1, 2, 3 или 4, то мы предыдущее разрядное число не меняем.

Задача решена.

Следующее, на что следует обратить внимание при подготовке, это вероятности, которые вычисляют для размещений по кругу.
Задача. За круглый стол, рассчитанный на 9 стульев, в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найти вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.

Для того чтобы решать эту задачу, удобно перевести ее на графический язык.
Нарисуем стол, отметим 9 мест, и этот рисунок окажется ключом к решению задачи.
Пусть первая девочка сидит на каком-то стуле. Если мы хотим, чтобы вторая девочка сидела рядом с ней, то ей подходит либо стул справа, либо стул слева.
Итак, благоприятных нашему событию (девочки сидят рядом) случаев - 2.
А всего свободных мест - 8, так как из 9 мест 1 занято первой девочкой.
Это значит, что искомая вероятность равна:

Задача решена.

Другая задача, к решению которой тот же ключ - рисунок.
В классе учится 26 человек, среди них 2 близнеца - Андрей и Сергей.
Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой.
Спрашивается, какова вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе?

Это довольно трудная задача, если не увидеть быстрого решения.
Пусть у нас есть 13 мест для одной группы - это стулья, на которых сидят учащиеся этой группы.
Все остальные автоматически попадут во вторую группу. И пусть на один из этих стульев сел Андрей.
Для того чтобы Сергей оказался в той же самой группе, он должен занять любой из оставшихся 12 стульев.
А претендуют на то, чтобы оказаться в одной группе с Андреем, 25 человек, то есть искомая вероятность:

Следующая задача. Сломались часы с круговым циферблатом.
Каковая вероятность того, что минутная стрелка остановилась
между двенадцатым и третьим часовым делением?

Здесь мы говорим о принципиально другой вероятности. Количество положений, в которых может застыть минутная стрелка, бесконечно много.
Поэтому наш классический подход - взять отношение двух натуральных чисел - здесь не подойдет.
На помощь приходит понятие геометрической вероятности. За вероятность принимают отношение площадей. Вероятность того, что стрелка застынет в отмеченном секторе, является отношение площади этого сектора к площади всего круга.
Видно, что площадь нашего сектора (3 часовых деления) равна одной четвертой от площади круга
(12 часовых делений).
Это значит, что искомая вероятность равна:

Задача решена.

На этом мы заканчиваем разговор о советах и секретах решения задач по теории вероятностей Единого государственного экзамена.
Удачи!