Тема 4. Начала теории вероятностей

1. Игральная кость — это шестигранный кубик, который при броске «выдаёт» от 1 до 6 очков. Кости падают независимо друг от друга, поэтому всего исходов броска  (при каждом из 6 вариантов очков от первой кости может быть 6 вариантов очков от второй).

2. Вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков — это отношение количества соответствующих событию исходов к общему числу исходов.

Переберём нужные нам исходы: 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3, 5 = 3 + 2, 5 = 4 + 1.

Всего исходов: 4. Значит вероятность нашего события 

Ответ: 0,11.

1. Введем обозначения. Вероятность некоторого события M будем обозначать P(M).

F1 — событие «купленное стекло выпущено на первой фабрике»,
F2 — событие «купленное стекло выпущено на второй фабрике»,
B — событие «купленное стекло оказалось бракованным».

Отметим, что B — это искомое нами событие.

2. Обратим внимание, что случайно купленное стекло могло быть выпущено либо на первой фабрике, либо на второй. Поэтому события F1 и F2 несовместны. Значит несовместны события «купленное стекло было выпущено на первой фабрике и оказалось бракованным» и «купленное стекло было выпущено на второй фабрике и оказалось бракованным».

Поэтому вероятность события «купленное стекло оказалось бракованным» можно найти сложением этих двух вероятностей.

Попробуем выразить, что это за события. Событие «купленное стекло было выпущено на первой фабрике и оказалось бракованным» — одновременное выполнение событий F1 и B (обозначим F1B), а событие «купленное стекло было выпущено на второй фабрике и оказалось бракованным» — одновременное выполнение событий F2 и B (обозначим F2B).

Таким образом 

3. Найдем вероятности P(F₁B) и P(F₂B).  По теореме умножения вероятностей:

В этих формулах

P(B|F₁) — вероятность брака при условии, что стекло производят на первой фабрике (то есть при условии, что производство на первой фабрике — свершившийся факт).

P(B|F₂) — вероятность брака при условии, что стекло производят на второй фабрике (то есть при условии, что производство на второй фабрике — свершившийся факт).

Вычислим каждый из множителей.

Один процент от числа — это 

По условию

Откуда

Ответ: 0,025.

1. Симметричная монета может выпасть одной из двух сторон («орёл» (О) или «решка» (Р) ), причем вероятности этих исходов равны.

Три броска симметричной монеты совершаются независимо друг от друга, поэтому исходов эксперимента «три броска»

(при каждом из двух исходов броска есть два исхода следующего броска, см. рис. 1).

рис.

2. Вероятность того, что О выпадет ровно два раза — это отношение количества соответствующих событию исходов к общему числу исходов.

Переберем нужные нам исходы: ООР, ОРО, РОО.

Всего исходов: 3. Значит вероятность нашего события

Ответ: 0,375.

1. Введем обозначения. 

Вероятность некоторого события M будем обозначать P(M).

F₁ — событие «школьнику достался вопрос на тему „Тригонометрия“»,

F₂ — событие «школьнику достался вопрос на тему „Внешние углы“»,

Искомое событие — событие «школьнику достался вопрос по одной из двух тем: „Тригонометрия“ или „Внешние углы“».

Это событие состоит в том, что случилось хотя бы одно из двух событий: F₁ или F₂, то есть оно является объединением событий 

2. По условию вопросов, которые одновременно относятся к двум темам „Тригонометрия“ и „Внешние углы“, нет. Это значит, что события F₁ и F₂ несовместны.

Вероятность объединения двух несовместных событий вычисляется по формуле

По условию 

Отсюда

Ответ: 0,35.

1. Утверждение «в среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают» равнозначно утверждению «вероятность случайно выбрать один насос, который подтекает, равна »...

Сократим эту дробь: 

2. Требуется найти вероятность того, что один случайно выбранный насос не подтекает. Это событие противоположно тому, что выбранный насос подтекает.

Вероятность события , противоположного событию , вычисляется по формуле , 

поэтому вероятность того, что случайно выбранный насос не подтекает,  равна

Ответ: 0,995. 

1. У одного выстрела есть два исхода: биатлонист может попасть в мишень, а может не попасть в мишень.

По условию, вероятность попадания в мишень равна 0,8. Поэтому вероятность промаха равна

2. По условию биатлонист стреляет три раза. Требуется найти вероятность события

«би­ат­ло­нист пер­вые 2 раза попал в ми­ше­ни, а по­след­ний раз про­мах­нул­ся».

 Отметим, что события попадания или промаха при каждом выстреле происходят независимо друг от друга. Поэтому искомое событие является одновременным выполнением трех независимых событий: «биатлонист попал в мишень», «биатлонист попал в мишень» и «биатлонист промахнулся».

Вероятность одновременного выполнения трех независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Поэтому искомая вероятность равна

С точностью до сотых:

Ответ: 0,13.

1. По условию всего в соревнованиях принимает участие   спортсменов.

Вероятность того, что по жребию выступать последним выпадет конкретному спортсмену (из двадцати) равна  .

Так как спортсменов из Сербии 8 (из двадцати), то вероятность того, что по жребию выступать последним выпадет кому-нибудь из них, равна 

Ответ: 0,4.

1. Заметим, что искомое событие «хотя бы один ав­то­мат ис­пра­вен» противоположно событию «ни один автомат неисправен».

Вероятность события, противоположного событию  вычисляется по формуле , где  — вероятность события  ,  а   — вероятность события, ему противоположного.

2. Вычислим вероятность события «ни один автомат неисправен».

По условию, каждый автомат может быть неисправен независимо от другого. Кроме того, вероятность поломки одного автомата равна 0,05.

Вероятность одновременного выполнения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, поэтому вероятность события «ни один автомат неисправен» равна

Отсюда, по формуле

вероятность события «хотя бы один ав­то­мат ис­пра­вен» равна

Ответ: 0,9975.

1. Во второй и в третий день должно состояться    выступлений, причем по условию эти выступления распределены поровну. Таким образом в каждый из этих дней должно состояться    выступлений.    

Количество выступающих по условию равно количеству выступлений, то есть пятидесяти.

2. Так как в третий день должно состояться 8 выступлений, то у России есть 8 возможностей выступить в третий день. Всего у России 50 возможностей выступить, поэтому вероятность выступления представителя России в третий день равна

Ответ: 0,16.

1. Заметим, что искомое событие «тостер прослужит меньше двух лет, но больше года» влечет за собой (то есть является одним из вариантов его реализации) событие «тостер прослужит больше года».

Запишем другие события, которые влекут за собой событие «тостер прослужит больше года» и при этом являются несовместными с искомым.

Пусть A — искомое событие «тостер прослужит меньше двух лет, но больше года»,

B — событие «тостер прослужит ровно два года»,

C — событие «тостер прослужит больше двух лет».

Эти события несовместны, и их объединение  

есть событие «тостер прослужит больше года».

Вероятность объединения трех несовместных событий вычисляется по формуле

2. Заметим, что вероятность события «тостер прослужит ровно два года», то есть что то­стер вый­дет из строя ровно через два года — стро­го в тот же день и в тот же миг — равна нулю.

Поэтому 

По условию:

Поэтому 

Выразим из последней формулы :

Ответ: 0,14.

1. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов. У Владимира Егорова в первом туре есть возможность сыграть с одним из   спортсменов. Поэтому вероятность сыграть с кем-нибудь конкретным из них равна .

2. Кроме Владимира Егорова спортсменами из России по условию являются  человек.

Поэтому вероятность того, что Владимир Егоров сыграет с каким-либо спортсменом из России равна 

Ответ: 0,48.

1. Заметим, что искомое событие «Т. верно решит ровно 8 задач» влечет за собой (то есть является одним из вариантов его реализации) событие «Т. верно решит боль­ше 7 задач».

Запишем другие события, которые влекут за собой событие «Т. верно решит боль­ше 7 задач» и при этом являются несовместными с искомым.

Пусть A — искомое событие «Т. верно решит ровно 8 задач»,

B — событие «Т. верно решит боль­ше 8 задач».

Эти события несовместны, и их объединение   есть событие «Т. верно решит боль­ше 7 задач».

Вероятность объединения двух несовместных событий вычисляется по формуле

2. По условию: 

Поэтому  

Выразим из последней формулы :

Ответ: 0,12.

1. Капитан команды Китая может вытянуть один из пяти вариантов карточек: 1, 2, 3, 4 или 5. Вытягивание карточки с номером 4 приводит к определению команды в четвёртую группу.

Поэтому будем искать вероятность того, что капитан команды Китая вытянет карточку с номером 4.

Всего карточек 20 штук, карточек с номером 4 — четыре штуки, поэтому вероятность вытянуть карточку с номером 4 равна 

Ответ: 0,2.

1. Вычислим количество натуральных чисел от 58 до 82.

Разность чисел  — это количество единиц, которые нужно прибавить к 58, чтобы получить 82, что совпадает с количеством чисел от 59 до 82 (добавление единицы дает одно число). Поэтому количество чисел от 58 до 82 равно .

2. 58 и 59 не делятся на 6 без остатка, поэтому первое число среди заданных, которое будет делиться на 6, — это 60. Чтобы найти следующее число, делящееся на 6, нужно прибавить к предыдущему числу шесть:

  , поэтому число 84 и последующие числа нас не интересуют.

Таким образом среди натуральных чисел от 58 до 82 на 6 делятся только 60, 66, 72 и 78. То есть из 25 чисел на 6 делятся только 4 числа.

Поэтому вероятность случайного выбора числа, делящегося на 6, равна: 

Ответ: 0,16.