Тема 3. Планиметрия: вычисление длин и площадей

Задачи по планиметрии – одни из самых трудных, потому что объем теоретического материала, которым нужно владеть, больше, чем по любой другой экзаменационной теме. Планиметрия изучается в 7, 8, 9 классах, и за три года в школе вы успеваете пройти очень много определений, теорем, свойств, признаков геометрических фигур.
Без твердого знания этого материала браться за задачи бесполезно.
Если вы пока не готовы, вернитесь к теоретическому материалу – повторите все определения, повторите все теоремы, повторите и выучите наизусть все формулы.
Тогда можно приниматься за решение задач.

На квадратной решетке отмечены точки: А, О и B. Найти синус угла AOB, в ответе указать значение синуса, умноженного на   .
Для решения задачи сделаем дополнительные построения.
Соединим точки A и B. Получим равнобедренный треугольник  AOB.
Действительно, OB – это диагональ в прямоугольнике со сторонами 3 и 1, а AB – диагональ в прямоугольнике с такими же сторонами, 3 и 1.
В равных прямоугольниках равные диагонали, а значит, отрезок OB равен отрезку AB.
Следовательно, треугольник – равнобедренный.

Сделаем еще одно дополнительное построение – отметим середину отрезка AO. Поскольку AO – диагональ в прямоугольнике со сторонами 4 и 2, середина (точка H) будет являться узлом нашей квадратной решетки. Проведем медиану BH и вспомним, что в равнобедренном треугольнике медиана BH является биссектрисой и высотой. Для нас будет существенно последнее: BH – высота.

Теперь все готово для ответа на вопрос задачи. Вспомним, что синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Значит, синус угла AOB – это отношение BH к BO. Найдем BH и BO. Поскольку длина клетки квадратной решетки не задана и нам нужно найти не длину, а отношение BH к BO, то можем положить длину стороны одной клетки равной 1.

Рассмотрим BH как диагональ в прямоугольнике со сторонами 2 и 1.Тогда по теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов) мы найдем BH. Найдем BO. BO – диагональ в прямоугольнике со сторонами 3 и 1. Тогда по теореме Пифагора получим, что BO равно   .  Итак, синус угла AOB равен    .  В ответ вписываем 2. Задача решена.

Если бы нас попросили найти не синус угла, а сам угол AOB, мы бы могли точно так же проделать все вычисления, которые мы проделали, и задать себе вопрос: синус какого острого угла равен    ?
Ясно, что это угол  .

Или мы могли бы рассуждать в принципе не так. Сделаем дополнительное построение - сразу проведем BH и рассмотрим треугольник OHB. Сторона OH треугольника одновременно является и диагональю в прямоугольнике со сторонами 2 и 1.
BH – тоже диагональ в прямоугольнике со сторонами 2 и 1. Значит, BH равно OH . То есть треугольник OHB - равнобедренный.
Причем если сторона клетки равна 1, то по теореме Пифагора   , а   .
В треугольнике OHB сумма квадратов двух меньших сторон (OH и BH) равна квадрату большей стороны (BO).
Это значит, что наш треугольник является прямоугольным по теореме, обратной теореме Пифагора. А в прямоугольном равнобедренном треугольнике углы при основании равны  . Задача решена.

Следующая задача. Найти площадь треугольника AOB.
Если вы можете вспомнить меньше, чем пять формул вычисления площади треугольника, то вы готовы недостаточно. Повторите теоретический материал.
Для решения задачи воспользуемся формулой:
площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.
За основание примем сторону OA, которая одновременно является и диагональю в прямоугольнике со сторонами 2 и 4. Тогда по теореме Пифагора AO равно   .
Высотой, проведенной к основанию AO, является BH. Её мы находили в предыдущей задаче. Тогда площадь треугольника AOB будет равна 5.
Задача решена.

А что делать, если вы не помните эту формулу или (достаточно распространенная ситуация) фигура представляет собой многоугольник неправильной формы?
Как поступать в таких случаях?  Есть общая формула, которая позволяет вычислять площади любых многоугольников, вершины которых лежат в узлах квадратной решетки.
S = B+Г/2 - 1
Эта формула называется формулой Пика. B - это количество узлов решетки, лежащих внутри многоугольника,  а Г - количество узлов решетки, лежащих на границе.
Применим эту формулу к нашему треугольнику. Отметим количество узлов, лежащих внутри треугольника - их 4. Количество узлов решетки, лежащих на границе, - тоже 4.
Итак, площадь треугольника равна 5. Задача решена.

В чем плюс этой формулы? Вы можете не знать ни как ищется площадь треугольника, ни как ищется площадь параллелограмма, ромба, трапеции. Главное – правильно сосчитать точки. Минус в том, что можно пропустить точки при подсчете. Будьте внимательны.

И последнее. Достаточно часто в заданиях встречаются задачи, связанные с равносторонним треугольником. Напомним: равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны.
Для него справедливы следующие соотношения:
если сторона равностороннего треугольника равна а, то его медиана, биссектриса и высота выражаются формулой  .
Площадь равностороннего треугольника равна    .
Радиус описанной окружности равен    .
А радиус вписанной - .

Типичный экзаменационный вопрос.
Известно, что высота равностороннего треугольника равна 3.
Найти радиус вписанной в этот треугольник окружности. Найти радиус описанной вокруг этого треугольника окружности. 

Запомните формулы, которые помогут вам быстро решать такие задачи.
Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен высоте, деленной на 3.
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности равен     высоты.
И вообще, радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности плюс радиус описанной окружности равен высоте. В нашем примере высота равна 3.
Следовательно, радиус описанной окружности будет равен 2, а радиус вписанной окружности - 1.

На этом мы заканчиваем разговор о советах и секретах решения задач по планиметрии Единого государственного экзамена.
Удачи!