Тема 3. Планиметрия: вычисление длин и площадей

 
(рис.1)

 1. Назовем наш треугольник ABC. Построим прямоугольный треугольник ABC' с гипотенузой AB (см. рис. 2), содержащий в себе треугольник ABC и имеющий вершину C' в узле сетки. Легко убедиться, что треугольник ABC' состоит из треугольника ABC, единичного квадрата (MCNC') и двух прямоугольных треугольников ACM и BCN.

 

(рис.2)

2. Длина сторон каждой клетки нашего рисунка 1 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC': катеты AC' = BC' = 6 см, значит ABC' равнобедренный. Заметим также, что прямоугольные треугольники ACM и BCN равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (равенство двух катетов: AM = BN = 5 см, CM = CN = 1 см).

3. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле    , где a и b — катеты треугольника.

Поэтому    см^2,

                    см^2,

4. Площадь квадрата MCNC' равна 1 см^2, так как его сторона равна 1 см.

5. Подставим вычисленные площади в формулу из п. 1:

                

                

                  см^2.

Ответ: 12.

1. Назовем центр окружности точкой O, хорду - AB, а вершину угла, вписанного в окружность и опирающегося на нее, точкой C. . Дополнительно построим AO и OB.

2.  — центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и . По теореме о вписанном угле:

откуда

3. Треугольник AOB — равнобедренный, так как AO = OB = 28 (как радиусы окружности). Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, а угол , то и остальные углы треугольника равны 60 градусов.

Это значит, что треугольник AOB — равносторонний.

4. Треугольник AOB — равносторонний, значит AB = AO = OB = 28.

Ответ: 28.

1. Назовем наш квадрат ABCD. Заметим, что диагонали квадрата AC и BD равны: AC = BD.

 

2. Квадрат — это частный случай четырехугольника, а потому его площадь можно посчитать как половину произведения диагоналей:

Домножим обе части равенства на 2:   

Отсюда  

Ответ: 19.

1. Назовем наш параллелограмм ABCD.

Периметром многоугольника называют сумму длин всех его сторон, поэтому периметр нашего параллелограмма вычисляется по формуле: 

3. По условию, одна из сторон параллелограмма больше другой на 41. В наших обозначениях:  

По условию  P = 94.  

Подставим значения AB и P в формулу для периметра  

Вычтем из обеих частей нашего равенства 82:

Ответ: 3.

 

1. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

2. Выполним следующие построения: отметим центр окружности O, точки касания окружности и сторон M, N, K, L, а также проведем радиусы, соединяющие центр и точки касания.

3. Проведем отрезок AO и докажем, что треугольники AMO и ALO равны.

Радиус окружности, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольники AMO и ALO — прямоугольные с прямыми углами AMO и ALO соответственно.

OM = OL как радиусы, AO — общая сторона (гипотенуза этих треугольников). Треугольники AMO и ALO равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (катет и гипотенуза).

Так как треугольники AMO и ALO равны, то AM = AL.

4. По аналогии с доказательством равенства AM = AL можно доказать, что DM = DN, CN = CK, BK = BL.

Заметим, что AL + BL + CN + DN = AM + BK + CK + DM.

AL + BL = AB, CN + DN = CD, AM + DM = AD, BK + CK = BC.

Значит, AB + CD = BC + AD.

5. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Построим среднюю линию PQ.

По теореме о средней линии трапеции она параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме:

Наша трапеция описана около окружности, поэтому воспользуемся формулой AB + CD = BC + AD (заменим числитель):

По условию нам известны боковые стороны: они равны 11 и 1, а значит, нам известна их сумма: 11 + 1 = 12.

Ответ: 6.

1. Координатами вектора на плоскости называют разность соответствующих координат его конца и начала.

Так, вектор , имеющий координаты начала , а координаты конца , имеет координаты

По сути, координаты вектора — это длины его проекций на оси координат.

2. Длину вектора  можно найти по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного самим вектором и его проекциями на оси координат (см. рисунок).

То есть 

Подставим значения наших кординат в эту формулу и вычислим длину:

Ответ: 26

1. Абсциссой точки называют ее координату x.

Две точки называют симметричными относительно оси, если эта ось проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, и перпендикулярна ему.

Искомая точка A' симметрична точке A относительно оси Oy, поэтому она лежит на прямой, перпендикулярной  оси Oy и проходящей через точку A. Обозначим точку пересечения Oy и перпендикулярной ей прямой буквой K.

2. Расстояние от точки A до оси Oy — это координата x точки A, то есть KA=6.

По определению точки A' следует, что KA'=6. Заметим, что точка A лежит справа от оси Oy, значит, точка A' лежит слева от оси. Это значит, что ее координата x отрицательна, т. е. x = -6.

Ответ: -6.

1. Выполним дополнительные построения: построим отрезок AB и прямоугольные треугольники MOB и NBA с гипотенузами AB и ОB (как показано на рисунке).

Заметим, что вершины A, O, B, M и N привязаны к сетке, а значит, нам известны отношения между отрезками, соединяющими эти точки.

Треугольники MOB и NBA равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (равенство двух катетов: NB = MO, NA = MB). Значит, AB = OB и треугольник AOB — равнобедренный.

2. Так как треугольник AOB — равнобедренный, его высота BH — медиана этого треугольника, то есть делит OA на два равных отрезка OH = HA.

3. BH = OH. Доказательство этого факта аналогично доказательству того, что AB = OB (выполняются дополнительные построения прямоугольных треугольников PHB и QOH).

Таким образом, треугольник BHO — равнобедренный (BH = OH) и прямоугольный (H — прямой угол).

4. Угол BOH (равный углу AOB) — один из углов треугольника BHO. Его тангенс можно найти по определению как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего.

Значит,

Ответ: 1.

1. Многоугольники называют подобными, если один из них переводится в другой преобразованием подобия: то есть все расстояния между точками одного многоугольника относятся к соответствующим расстояниям между точками другого многоугольника одинаково.

Исходя из определения можно ввести   — коэффициент подобия, где r — расстояние между любыми двумя точками одного многоугольника, а r' — расстояние между точками, им соответствующими, второго многоугольника.  Коэффициент k, в частности, будет отношением и двух соответствующих сторон многоугольника.

2. Периметром многоугольника называют сумму длин всех его сторон. Пусть периметр первого многоугольника , а ` периметр второго. Тогда  есть сумма длин всех сторон первого многоугольника, а ` сумма соответствующих им сторон, каждую из которых можно представить как сторону первого многоугольника, умноженную на k. Если мы вынесем k за скобки, получим, что . Отсюда и из условия задачи понятно, что

3. Выберем некоторую точку O внутри многоугольника и разрежем его на треугольники, образованные этой точкой и сторонами многоугольника. Площадь многоугольника будет суммой площадей всех полученных треугольников.

Площадь треугольника, образованного стороной многоугольника a, можно вычислить по формуле: , где h — высота, опущенную из точки O на a.

Заметим, что каждому треугольнику из первого многоугольника соответствует треугольник из второго многоугольника, площадь которого будет равна:

 

То есть для любого треугольника из первого многоугольника, имеющего площадь , площадь соответствующего ему треугольника во втором многоугольнике будет .

Так как площадь многоугольника — сумма площадей треугольников, то площади многоугольников тоже будут пропорциональны друг другу с коэффициентом k² : 

4.     

Площадь меньшего многоугольника равна 56. Отметим, что так как k<1, то меньший многоугольник — тот, площадь которого , где S — площадь большего многоугольника.

Значит, 

Ответ: 171,5.

Решение:

1. Наша фигура — четырёхугольник, назовем ее ABCD.

Построим прямоугольник PQMN таким образом, чтобы точки A, B, C, D лежали на разных сторонах этого прямоугольника, а его вершины совпадали с узлами сетки (см. рис. ниже).

Заметим, что при таком построении у нас образуются прямоугольные треугольники с гипотенузами — сторонами первоначальной фигуры.

Теперь искомую площадь можно выразить как разность площади прямоугольника и площадей прямоугольных треугольников:

 

2. Площадь этих прямоугольных треугольников можно вычислить по формуле , где a и b — катеты треугольника.

А катеты найдем исходя из условия о том, что длина сторон каждой клетки нашего рисунка 1 см.

AM=MB=2 см  см².

BN=NC=3 см  см².

CP=2 см, PD=3 см  см².

DQ=2 см, QA=3 см  см².

3. Теперь найдем площадь прямоугольника: 

 см².

4. Подставим полученные числа в формулу площади из пункта 1:

S=25-2-4,5-3-3=12,5 см².

Ответ: 12,5.

 

1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

2. Выясним длины оснований. По графику понятно, что вершинами основания a являются точки с координатами (1, 1), (10, 1), а вершинами основания b точки с координатами (8, 6), (5, 6).

Обратим также внимание, что у обоих отрезков координата y неизменна (оба отрезка параллельны оси Х). Длина таких отрезков находится как разность координат x его концов.

Длина большего основания, таким образом, равна 10-1=9, а меньшего 8-5=3.

3. Найдем высоту трапеции. Высота определяется разницей в координатах y ее верхнего и нижнего оснований. Поэтому она равна 6-1=5.

4. Подставим полученные значения в формулу

Ответ: 30.

1. Рассмотрим четырехугольник OACB, где O — центр окружности. Отметим, что сумма углов четырехугольника равна 360°. Поэтому

2. Отметим, что OB и OA — радиусы окружности, проведенные в точки касания окружности с прямыми CB и CA соответственно. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому

Отсюда:

(по условию)

3. Поэтому

Выразим угол BOA:

4. Требуется найти меньшую дугу AB. Отметим, что BOA — центральный угол, опирающийся на эту дугу, а значит, их градусные меры равны. Таким образом меньшая дуга AB равна 102°.

Ответ: 102.

(рис.1)

1. Назовем данный треугольник ABC. Отметим, что вершины треугольника находятся в узлах клетчатой бумаги.
Построим прямоугольник CMKN так, чтобы угол C совпадал с углом клетки, а A и B лежали на сторонах этого прямоугольника (см. рис. 2).

Легко убедиться, что построенный таким образом прямоугольник CMKN соостоит из треугольника ABC и еще трех прямоугольных треугольников AMC, AKB и BNC:

(рис.2)

2. Длина сторон каждой клетки нашего рисунка 1 см.  см. Прямоугольник, у которого соседние стороны равны, является квадратом. Поэтому CMKN — квадрат. Площадь квадрата со стороной  вычисляется по формуле  , поэтому 

3. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле , где  и  — катеты треугольника.

Заметим, что  см, а  см.

 Поэтому    см^2,

                 см^2,

                 см^2.

4. Подставим вычисленные площади в формулу из п. 1:

Выразим :     см^2.

Ответ: 10,5.

 

1. Обозначим площадь прямоугольника     , большую сторону   , меньшую сторону   .

2. По условию 

                          

                             требуется найти.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле  

Подставим выражения для     и     в формулу:    

Мы получили уравнение на  .  Упростим правую часть уравнения:   

Мы получили квадратное уравнение, перенесем все его члены в одну часть:  

По теореме, обратной теореме Виета:  

Так как   — сторона прямоугольника, отрицательный корень нам не подходит.

Таким образом  

                           

Ответ: 9.

 

1. Назовем данный параллелограмм , а его периметр  .

Периметром многоугольника называют сумму длин всех его сторон, поэтому периметр нашего параллелограмма вычисляется по формуле:  

В параллелограмме противоположные стороны равны, т. е.

,   

3. По условию стороны параллелограмма относятся как  .

Пусть   — большая сторона. Тогда 

По условию

Подставим последние выражения в формулу для периметра 

Отсюда 

Ответ: 12.

1. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

Выполним следующие построения: отметим центр окружности O, точки касания окружности и сторон обозначим M, N, K, L, а также проведем радиусы, соединяющие центр и точки касания.

2. Проведем отрезок AO и докажем, что треугольники AMO и ALO равны.

Радиус окружности, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольники AMO и ALO — прямоугольные с прямыми углами AMO и ALO соответственно.

OM = OL как радиусы, AO — общая сторона (гипотенуза этих треугольников). Треугольники AMO и ALO равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (катет и гипотенуза).

Так как треугольники AMO и ALO равны, то AM = AL.

3. По аналогии с доказательством равенства AM = AL можно доказать, что DM = DN, CN = CK, BK = BL.

Заметим, что AL + BL + CN + DN = AM + BK + CK + DM.

AL + BL = AB, CN + DN = CD, AM + DM = AD, BK + CK = BC.

Значит, AB + CD = BC + AD.

4. Требуется найти радиус вписанной окружности. Отметим, что так как трапеция ABCD прямоугольная с прямым углом D, то AD не только боковая сторона, но и высота трапеции.

Так как  (радиус окружности, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной) и основания , то точки N, O, L находятся на одной прямой и NL тоже высота трапеции. Кроме того, NL — диаметр окружности и

5. Периметр трапеции ABCD вычисляется по формуле

Наша трапеция описана около окружности, поэтому верна формула
AB + CD = BC + AD :

Выразим сумму боковых сторон:

По условию нам известна большая боковая сторона (BC) и периметр трапеции:

Подставим эти значения в последнее равенство:

Выразим меньшую сторону AD:

Радиус вписанной окружности

Ответ: 4.

 

1. Координатами вектора на плоскости называют разность соответствующих координат его конца и начала.

Так, вектор , имеющий координаты начала , а координаты конца , имеет координаты

По сути, координаты вектора — это длины его проекций на оси координат.

 2. Данный вектор  имеет координаты (4, 20), его начало A, его конец B. Поэтому известна разность координат точек A и B:

По условию , требуется найти ординату точки A. Воспользуемся вторым уравнением, подставив в него ординату точки B:

Выразим ординату точки A:

Ответ: -13.

Ординатой точки называют ее координату y.

Координаты середины отрезка OA можно найти по формулам

 

Здесь  — координаты точки O,  — координаты точки A.

Требуется найти 

По условию O (0, 0), A (6, 8), поэтому:

Ответ: 4.

1. Назовем данный многоугольник  .  Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

Пусть  — точки касания многоугольника и окружности.

Радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому радиусы   перпендикулярны соответствующим сторонам  .

2. Проведем отрезки . Многоугольник состоит из треугольников с вершиной — центром вписанной окружности:

Площадь каждого треугольника можно вычислить как половину произведения основания треугольника на его высоту:

      .................

Поэтому  

Отметим, что   как радиусы.  Поэтому

3. Периметр многоугольника есть сумма длин всех его сторон:

Поэтому  

Выразим периметр:  

По условию

Ответ: 41.

 

1. Разность векторов — это сумма уменьшаемого вектора и вектора, противоположного вычитаемому:

Если конец одного вектора совпадает с началом второго, то сумму этих векторов удобно находить по правилу треугольника: вектор суммы будет исходить из начала первого вектора, а его конец будет концом второго.

Таким образом 

Значит длина вектора  — это длина стороны CB. Ее требуется найти.

2. По условию известны диагонали ромба — AC и BD. Так как на данном нам рисунке угол A острый, а D тупой, то .

Докажем последнее утверждение. Для этого рассмотрим треугольники ADC и ADB. Сторона AD общая, AB = DC, угол A < D (A острый, D тупой).

По теореме косинусов

Так как A острый, D тупой, то

 

Из всего этого следует, что , а так как речь идет о положительных числах (BD и AC — отрезки), то 

По условию наши диагонали равны 12 и 16, значит AC = 16, BD = 12.

3. Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Отметим точку пересечения диагоналей O.

 

 — прямоугольный с прямым углом O, по теореме Пифагора

Так как  — отрезок, он не может быть отрицательным.

Ответ: 10.

1. Назовем данную трапецию . Пусть  — меньшее основание трапеции , то есть .

Пусть прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции, — это прямая . Тогда периметр  равен 39.

Запишем также периметр  как сумму длин его сторон:

2. Так как (по условию),  (как прямые, на которых находятся основания трапеции), то  — параллелограмм. Значит,

 

3. Запишем периметр :

Ответ: 77.

(рис.1)

1. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:   

2. Обозначим на графике точки так, как показано на рисунке 2.

(рис.2)

 Диагонали ромба  и  .

Вычислим координаты векторов  и .

Длины векторов  и  вычисляются по формуле:

Подставим значения координат:

Длины отрезков совпадают с соответствующими длинами векторов.

3. Подставим полученные длины диагоналей в формулу площади ромба:

Ответ: 8.

 

 

1. Назовем центр окружности O, правильный треугольник, вокруг которого описана окружность, ABС, а высоту треугольника CH. По условию, CH=33.

2. Отметим, что центр окружности, описанной около треугольника, находится в точке пересечения серединных перпендикуляров. Так как в правильном треугольнике серединные перпендикуляры совпадают с медианами и высотами, то точка O есть точка пересечения медиан треугольника ABС и находится на высоте и медиане CH.

3. Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1 (если считать от вершины к основанию). Поэтому точка O делит отрезок CH в отношении 2:1.

Заметим поэтому, что

CO и есть искомый радиус. Вычислим CO из предыдущего равенства, подставив в него CH:

Домножим обе части равенства на 33:

Ответ: 22.

 

(рис.1)

1. Треугольник задан в прямоугольной системе координат. Назовем треугольник ABO, где O — начало координат. Отметим, что другие вершины треугольника имеют координаты                           и                              и потому находятся на сторонах квадрата  OMKN (см. рис. 2).
Квадрат OMKN состоит из треугольника ABO и еще трех прямоугольных (в силу определения квадрата) треугольников BNO, AMO, AKB.

(рис.2)

2. Площадь квадрата со стороной  вычисляется по формуле , поэтому .

3. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле  , где   и   — катеты треугольника. 

Заметим, что  , а   .

Поэтому  

               

Отметим также, что  

                                 

                                 

4. Подставим вычисленные площади в формулу из п. 1: 

                                     

                                    

                                                                                 

Выразим  :                                                                                                    

Ответ: 25,5.

1. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

Выполним следующие построения: отметим центр окружности O, точки касания окружности и сторон обозначим M, N, K, L, а также проведем радиусы, соединяющие центр и точки касания.

2. Проведем отрезок AO и докажем, что треугольники AMO и ALO равны.

Радиус окружности, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольники AMO и ALO — прямоугольные с прямыми углами AMO и ALO соответственно.

OM = OL как радиусы, AO — общая сторона (гипотенуза этих треугольников). Треугольники AMO и ALO равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (катет и гипотенуза).

Так как треугольники AMO и ALO равны, то AM = AL.

3. По аналогии с доказательством равенства AM = AL можно доказать, что
DM = DN, CN = CK, BK = BL.

Заметим, что AL + BL + CN + DN = AM + BK + CK + DM.

AL + BL = AB, CN + DN = CD, AM + DM = AD, BK + CK = BC.

Значит, AB + CD = BC + AD.

4. Периметр четырехугольника ABCD вычисляется по формуле

По условию AB=22, CD=77

Ответ: 198.

1. Назовем наш треугольник  , точку на основании  , а прямые, проведенные через эту точку параллельно боковым сторонам,  —   и  .

Точки их пересечения с другими боковыми сторонами  —   и    соответственно.

2. Так как   , то треугольники      и     подобны (признак подобия по двум углам:    как соответственные). Так как   равнобедренный, то и   равнобедренный с боковыми сторонами  .

Аналогично, так как  , то треугольники    и   подобны (признак подобия по двум углам:   как соответственные). Так как   равнобедренный, то и    равнобедренный с боковыми сторонами  

3. Периметр параллелограмма FDEC
— это сумма длин всех его сторон:  

Отметим, что по условию

Поэтому  

Ответ: 20.

1. Пусть вектор  имеет координаты начала , а координаты конца

Координатами вектора  называют разность соответствующих координат его конца и начала:

Длину вектора можно найти по формуле:

Поэтому искомую величину (квадрат длины вектора) можно найти по формуле:

где — координаты вектора.

2. Найдем координаты вектора . Координаты суммы векторов равны сумме координат этих векторов:

Вычислим координаты векторов  и  , используя данный в условии график.

Отметим, что оба вектора исходят из начала координат, поэтому координаты этих векторов совпадают с координатами их концов:

Подставим полученные значения в формулы для вычисления координат вектора 

Вектор  имеет координаты (10, 10), вычислим  квадрат длины вектора:

Ответ:  200.

1. Обозначим площадь прямоугольника  ,  периметр  ,  одну сторону ,  другую сторону  ,  диагональ  .

2. По условию ,  ,   требуется найти.

3. Для решения задачи воспользуемся формулой квадрата суммы:

Заметим, что площадь прямоугольника вычисляется по формуле

Диагональ в прямоугольнике является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами  и  . По теореме Пифагора: 

Периметр — это сумма длин всех сторон, так как противоположные стороны прямоугольника равны, периметр прямоугольника вычисляется по формуле 

Значит,   

Заменим в формуле квадрата суммы  и , используя выражения для площади, диагонали и периметра: 

Подставим  и  :

Вычтем из обеих частей равенства :

Воспользуемся формулой разности квадратов и разложим на множители левую часть уравнения:

Выразим :

Ответ: 26,5.

 

 

Обозначим радиус круга R, а образующий сектор центральный угол (в радианах).

Отметим, что весь круг — это радиан, поэтому площадь сектора можно вычислить по формуле

По условию

 

Подставим эти значения в формулу:

Выразим 

Ответ требуется получить в градусах. Переведем  в градусы, используя то, что развернутый угол — это  радиан:

Ответ: 60.

1. Построим примерный график четырехугольника.

Назовем вершины четырехугольника так, как показано на рисунке, и докажем, что ABCD является квадратом. 

Квадрат — это ромб, у которого равны диагонали. Значит нам достаточно показать, что все стороны четырехугольника равны (признак ромба), и после этого, что его диагонали равны.

2. Вычислим координаты векторов:

Длины векторов вычисляются по формуле:

Подставляя значения координат в эту формулу, убедимся, что

Длины отрезков совпадают с соответствующими длинами векторов. Таким образом, ABCD — квадрат.

3. Требуется найти площадь четырехугольника ABCD. Так как этот четырехугольник — квадрат, его площадь вычисляется по формуле:

, где a — сторона квадрата.

Подставим длину стороны ABCD в формулу:

Ответ: 10.

1. Разность векторов — это сумма уменьшаемого вектора и вектора, противоположного вычитаемому:

Если конец одного вектора совпадает с началом второго, то сумму этих векторов удобно находить по правилу треугольника: вектор суммы будет исходить из начала первого вектора, а его конец будет концом второго.

Таким образом

Значит, длина вектора — это длина стороны AB. Ее требуется найти.

2. По условию известны диагонали ромба — AC и BD. Так как на данном нам рисунке угол A острый, а D тупой, то BD < AC.

Докажем последнее утверждение. Для этого рассмотрим треугольники ADC и ADB. Сторона AD общая, AB = DC, угол A < D (A острый, D тупой).

По теореме косинусов

Так как A острый, D тупой, то

Из всего этого следует, что , а так как речь идет о положительных числах (BD и AC — отрезки), то BD<AC.

По условию наши диагонали равны 12 и 16, значит, AC=16, BD=12.

3. Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

— прямоугольный с прямым углом O, по теореме Пифагора

Так как AB — отрезок, он не может быть отрицательным.

AB=10

Ответ: 10.

1. Назовем данную трапецию ABCD с основаниями  (см. рис.). Тогда по условию . Точку пересечения диагоналей обозначим O.

Пусть также CH — высота трапеции (то есть равна 46).

Обозначим середины боковых сторон AD и BD через K и M соответственно. KM — средняя линия, которую требуется найти.

2. По теореме о средней линии трапеции

3. Отметим, что так как ABCD равнобедренная трапеция, то   (признак по двум сторонам и углу между ними: AD=BC,  , CD — общая сторона).

Из равенства этих треугольников следует равенство углов

Углы   равны как вертикальные. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что

  (признак по стороне и прилежащим к ней углам: AD=BC,  ,  )

Таким образом, диагонали трапеции равны и, кроме того, DO=OC, AO=OB.

4.  и  равнобедренные (согласно предыдущему пункту) и прямоугольные (по условию). Значит, острые углы 

— прямоугольный (CH — высота) с острым углом поэтому  — равнобедренный, то есть AH=CH=46

5. Заметим, что AB=AH+HB=46+HB. Так как ABCD — равнобедренная трапеция, то высоты, опущенные из вершин меньшего основания на большее, отсекают равные части слева и справа, при этом в середине на большем основании остается отрезок, равный меньшему основанию (см. рисунок ниже).

Так как AB=AH+HB=46+HB, то CD=AH-HB=46-HB

6. Вычислим среднюю линию

Ответ: 46.

1. Назовем данный треугольник AСB, где C — вершина прямого угла. Пусть O — центр окружности. Отметим, что так как данная окружность описана вокруг треугольника, то угол AСB — вписанный и поэтому равен половине центрального угла AOB, опирающегося на ту же дугу.

Так как AСB — прямой, то соответствующий ему центральный угол — развернутый (то есть является диаметром окружности).

Отметим также, что через точки A и B проходит только одна прямая, поэтому гипотенуза треугольника AСB совпадает с диаметром окружности.

2. Требуется найти радиус описанной окружности. Так как гипотенуза AB есть диаметр описанной окружности, то радиус окружности

Ответ: 14.

1. Построим параллелограмм , обозначим середины его сторон  , , ,  и построим параллелограмм .

 

Построим также диагонали   и   и заметим, что каждая из них делит площадь параллелограмма   пополам.

2. Отметим, что  — средняя линия треугольника   (так как ,   — середины сторон), а значит, треугольники   и    подобны с коэффициентом  . Значит, их площади относятся как   

 

По аналогии

 

Отметим, что   

                        

                        

Отсюда:  

Ответ: 7.

 

1.  Построим правильный треугольник ABC.

 

Так как у векторов  и совмещены начальные точки, то их сумму удобно находить по правилу параллелограмма:

а) вектор суммы будет исходить из той же точки, из которой исходят суммируемые векторы;

б) вектор суммы должен быть построен как соответствующая диагональ параллелограмма, определяемого этими двумя векторами и углом между ними.

Построим параллелограмм ABDC, удовлетворяющий последнему пункту правила параллелограмма

Так как треугольник ABC — правильный, то AB=AC. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны:

AB=CD, AC=BD

Таким образом все стороны  параллелограмма ABDC равны и он является ромбом.

Искомый вектор 

2. Пусть H — точка пересечения AD и BC.  Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, поэтому

Кроме того , так как ABDC — ромб.

— прямоугольный с прямым углом H. По теореме Пифагора 

Вычислим AH:

По условию ABC — правильный треугольник со сторонами AC=BC=AB=

Поэтому:

Вычислим AD:

Длина вектора — это длина отрезка AD , поэтому длина вектора равна 6.

Ответ: 6.

1. Обозначим площадь прямоугольника буквой , его периметр , одну сторону , другую сторону .

2. По условию , .

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле 

Периметр — это сумма длин всех сторон, так как противоположные стороны прямоугольника равны, периметр прямоугольника вычисляется по формуле 

3. Выразим  из формулы :  

 

Подставим это выражение в формулу :

  

Подставим значения  и  в последнее выражение:

 

Мы получили уравнение на . Вынесем общий множитель 2 за скобки в правой части уравнения:

Разделим обе части уравнения на 2: 

Заметим, что  не равно нулю (  — положительное число, длина стороны прямоугольника), поэтому мы можем домножить обе части уравнения на :

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Мы получили квадратное уравнение, перенесем все его члены в одну часть: 

По теореме, обратной теореме Виета:

Мы получили два варианта ответа. Вычислим вторую сторону:

Заметим, что в любом случае мы получаем стороны 9 и 12. Большая сторона равна 12.

Ответ: 12.

1. Назовем внешний угол при вершине B углом . Отметим, что, так как угол , данная картинка плохо отражает условие задачи: смежный с ним  — тупой. Перерисуем треугольник.

2. Внешний угол треугольника равен сумме несмежных с ним углов этого треугольника:

 

 

Отсюда  .

Отметим, что неверное изображение данного треугольника не влияет на решение задачи.

Ответ: 21.

 

1. Ординатой точки называют ее координату y.

Две точки называют симметричными относительно оси, если эта ось проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, и перпендикулярна ему.

Искомая точка A' симметрична точке A относительно оси Ox, поэтому она лежит на прямой, перпендикулярной оси Ox и проходящей через точку A. Обозначим точку пересечения Ox и перпендикулярной ей прямой буквой K.

2. Расстояние от точки A до оси Ox — это координата y точки A, то есть KA=2

По определению точки A' следует, что KA'=2. Заметим, что точка A лежит выше оси Ox, значит точка A' лежит ниже оси. Это значит, что ее координата отрицательна, т. е. y = -2.

Ответ: -2.

Обозначим данный ромб ABCD. Пусть

Площадь ромба можно вычислить по формуле , где a — сторона ромба, а  — любой из углов ромба (соседние углы ромба в сумме дают развернутый),

Таким образом

Ответ: 24,5.

1. Пусть большее основание трапеции a, меньшее основание b, высота трапеции h, площадь трапеции S. Тогда a=23, b=3, S=39. Требуется найти h.

2. Запишем формулу площади трапеции:

, где a и b — основания, h высота.

Подставим в нее числовые значения:

Выразим h:

 

Ответ: 3.

 

1. Назовем четырехугольник ABCD и отметим, что все его вершины лежат в узлах сетки.

Отметим также, что вершины B и D лежат на одной вертикали сетки, а A и C лежат на одной горизонтали.

Построим прямоугольник NBDM таким образом, чтобы M и N находились в узлах сетки на одной вертикали и точка A находилась на стороне MN (см. рис. ниже). Продолжим также AC до стороны DB этого прямоугольника и точку пересечения этого продолжения со стороной DB обозначим K.

Заметим, что при таких построениях у нас образуются прямоугольные треугольники с гипотенузами — сторонами первоначальной фигуры.

Прямоугольник NBDM составлен из этих прямоугольных треугольников и четырехугольника ABCD:

2. Площади прямоугольных треугольников можно вычислить по формуле , где a и b — катеты треугольника.

Вычислим катеты треугольников. Длина сторон каждой клетки нашего рисунка 1 см.

DK=BK=MA=NA=1 см

CK=3 см

MD=ND=9 см

Подставим длины катетов в формулу площади:

см²,

см²,

см²,

см²,

3. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: S=ab, где a и b — катеты треугольника.

Найдем площадь прямоугольника NBDM:

см².

Ответ: 6.

1. Назовем центр окружности точкой O, а вписанный шестиугольник ABCDEF.

Отметим, что так как ABCDEF — правильный, то все его стороны равны. Поэтому достаточно найти сторону AB.

2. Так как шестиугольник ABCDEF вписан в окружность, то, построив радиусы к вершинам, можно его разбить на шесть равнобедренных треугольников (см. рисунок).

Отметим, что так как стороны шестиугольника равны, то есть равны основания построенных треугольников, то все эти треугольники равны (признак по трем сторонам). И значит, равны их углы при вершине O, и каждый из них составляет часть полной окружности.

3. Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный (OA=OB как радиусы окружности) с углом между боковыми сторонами

Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, а угол , то и остальные углы треугольника равны 60 градусов.

Это значит, что треугольник AOB — равносторонний.

Требуется найти AB.

AB=OA=OB=39

Ответ: 39.

 

1. Построим параллелограмм отметим на стороне  точку  и достроим трапецию . 

Построим также диагональ  и заметим, что она делит площадь параллелограмма  пополам: 

2. Обратим внимание, что  — медиана треугольника  и потому делит треугольник  на две равновеликие части:  

3. Трапеция  состоит из  и :

 

Ответ: 92,25.

1. Назовем заданный треугольник ABC, где B — прямой угол.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле  , где  и  — катеты треугольника.

Тогда площадь нашего треугольника  

. Положим, что  . 

Тогда нам нужно найти . 

2.      

Выразим :                                                                      

 

Ответ: 4.

 

1. Площадь ромба можно вычислить по формуле

, где — диагонали ромба.

Обозначим наш ромб ABCD и заметим, что его вершины находятся в узлах клетчатой бумаги.

 

2. Построим прямоугольник с диагональю DB и углами, совпадающими с углами клетки. Заметим, что этот прямоугольник — квадрат 3 х 3 (клетки).

Построим прямоугольник с диагональю AC и углами, совпадающими с углами клетки. Заметим, что этот прямоугольник — квадрат размером с одну клетку.

Учитывая, что клетки имеют стороны длиной 1 см (по условию задачи), вычислим диагонали DB и AC.

Диагональ квадрата можно вычислить по формуле: , где a — сторона квадрата.

см., см.

 

3. Вычислим площадь ромба ABCD:

 

Ответ: 3.

 

1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту

2. Выясним длины оснований, проанализировав координаты вершин трапеции и построив ее примерный график. Отметим, что точки (1, 2) и (1, 13) имеют одну координату x=1. Это значит, что они лежат на одной прямой, перпендикулярной оси x. Аналогично, точки (2, 4) и (2, 10) лежат на одной прямой, перпендикулярной оси x (прямая x=2).

Прямые x=1 и x=2 параллельны, поэтому отрезок a, соединяющий точки (1, 2) и (1, 13), и отрезок b, соединяющий точки (2, 4) и (2, 10) являются основаниями трапеции. Обратим также внимание, что, так как у обоих отрезков координата x неизменна (оба отрезка перпендикулярны оси x), длина таких отрезков находится как разность координат y его концов:

a=13-2=11, b=10-4=6

3. Выясним высоту трапеции. Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный основаниям, длина которого — расстояние между основаниями.

В нашем случае расстояние между основаниями — это разница в координатах x оснований a и b, поэтому высота трапеции h=2-1=1

4. Подставим полученные значения в формулу

Ответ: 8,5.

 

1. Назовем четырехугольник ABCD и отметим, что все его вершины лежат в узлах сетки.

Построим прямоугольник MNPQ таким образом, чтобы все его вершины находились в узлах сетки, а вершины ABCD лежали на его сторонах (см. рис. ниже).

Заметим, что при таких построениях у нас образуются прямоугольные треугольники с гипотенузами — сторонами первоначальной фигуры.

Прямоугольник MNPQ составлен из этих прямоугольных треугольников и четырехугольника ABCD:

2. Площади прямоугольных треугольников можно вычислить по формуле

, где a и b — катеты треугольника.

Вычислим катеты треугольников. Длина сторон каждой клетки нашего рисунка 1 см.

AN=CP=DP=BQ=1 см

CQ=AM=3 см

MB=ND=7 см

Подставим длины катетов в формулу площади:

см²,

см²,

см²,

см².

3. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: S=ab, где a и b — катеты треугольника. 

Найдем площадь прямоугольника MNPQ:

см². 

4. Подставим полученные числа в формулу площади из пункта 1:

Выразим площадь четырехугольника ABCD:

см².

Ответ: 16.

1. Назовем центр окружности O, правильный треугольник, в который она вписана, ABС, а высоту треугольника CH.

2. Отметим, что центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис. Так как в правильном треугольнике биссектрисы совпадают с медианами и высотами, то точка O есть точка пересечения медиан треугольника ABС и находится на его высоте и медиане CH.

Центр вписанной окружности равноудален от сторон треугольника и радиус окружности можно найти как перпендикуляр, опущенный из центра на любую из его сторон. Таким перпендикуляром является отрезок OH.

3. Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1 (если считать от вершины к основанию). Поэтому точка O делит отрезок CH в отношении 2:1.

 

Заметим поэтому, что

откуда

Ответ: 46.

1. Положим, что D находится на отрезке AC, а E на отрезке BC.

По теореме о средней линии  и .

2. Заметим, что в силу параллельности DE и AB треугольники ABC и CDE подобны (по признаку подобия по двум углам), так как соответствующие углы у этих треугольников одинаковые.

А так как , то коэффициент подобия .

3. Если коэффициент подобия фигур k, то площади подобных фигур относятся как k², поэтому

 

,  поэтому   

Отсюда  

Ответ: 44.

 

1. Обозначим данную трапецию ABCD и заметим, что ее вершины находятся в узлах клетчатой бумаги, причем основания AD и BC лежат на вертикалях сетки.

Вычислим длины оснований, пользуясь тем, что сторона клетки 1 см.

AD=3 см, BC=4 см.

2. Выясним высоту трапеции. Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный основаниям, длина которого — расстояние между основаниями.

Так как основания трапеции ABCD лежат на вертикалях сетки, то высота (в силу перпендикулярности вертикалям) параллельна горизонталям сетки, а расстояние между основаниями равно расстоянию между вертикалями, на которых основания лежат. Например, BD — высота трапеции. BD=4 см.

 

3. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

 

Подставим вычисленные значения оснований и высоты в формулу:

см²

 

Ответ: 14.

1. Назовем трапецию ABCD, а среднюю линию FE.

 

Периметр ABCD вычисляется по формуле

2. Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна развернутому. Поэтому

Но так как ABCD — трапеция, то

Отсюда следует, что

Таким образом

Трапеция, у которой углы при каждом основании равны, является равнобокой. Таким образом ABCD — равнобокая трапеция и AD=BC. Требуется найти любую из этих боковых сторон.

3. Среднюю линию трапеции можно вычислить как полусумму ее оснований:

Значит

4. Отметим, что по условию .

Из пункта 3: AB+CD=42

Из пункта 2: AD=BC

Подставим эти равенства в формулу для периметра:

52=42+AD+AD

52=42+2AD

Вычтем из обеих частей последнего равенства 42:

52-42=2AD

10=2AD

Отсюда

Ответ: 5.

1. Построим примерный график данного треугольника и назовем его вершины A, B и C соответственно заданному в условии порядку точек.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:  

Определим, как расположены стороны треугольника, чтобы выбрать удобные для расчетов основание и высоту.

2. Вычислим координаты векторов .  Каждая координата вектора вычисляется как разность соответствующей координаты конечной точки и соответствующей координаты начальной точки.

Отметим, что так как координата  вектора  равна нулю, то  ,

и, значит,  для любого перпендикуляра , опущенного на  , выполнено, что 

3. Длина вектора на плоскости вычисляется по формуле: 

Вычислим длину :  

4. Вычислим длину перпендикуляра, опущенного из точки A на .

Положим, что точка H — основание этого перпендикуляра, тогда ее координаты 

(так как H находится на прямой ).

(так как )

5. Подставим в формулу площади вычисленные длины:

Ответ: 27.

 

 

1. Пусть радиус круга R, тогда его площадь вычисляется по формуле

а длина его окружности по формуле

Возведем обе части формулы длины окружности в квадрат:

В последнем равенстве сделаем замену по формуле: 

По условию

Подставим это значение в формулу

Разделим обе части последнего равенства на

Выразим S:

Ответ: 342,25.

1. Назовем данный треугольник ABC, а центр вписанной окружности O.

Отметим, что треугольник ABC составлен из треугольников ABO, BCO и ACO.

2. Радиус окружности, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной, поэтому радиусы, проведенные в точки касания вписанной окружности со сторонами AB, BC и AC , являются высотами треугольников ABO, BCO и ACO.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: 

Поэтому площадь треугольника ABO можно вычислить как 

Площадь треугольника BCO можно вычислить как

Площадь треугольника ACO можно вычислить как

3. Подставим выражения для площадей в формулу

Вынесем общий множитель  за скобки:

По условию

Подставим эти значения в последнюю формулу: 

Отсюда  

Ответ: 1.

 

1. Обозначим радиус круга R, а образующий сектор центральный угол  (в радианах).

Отметим, что весь круг — это  радиан, поэтому площадь сектора можно вычислить по формуле

а длину дуги сектора по формуле

Подставим формулу длины дуги сектора в формулу его площади:

По условию R=20, l=2

Подставим эти значения и вычислим площадь сектора:

Ответ: 20.

1. Осью абсцисс называют ось Ox в системе координат. Расстояние от точки до прямой — это перпендикуляр, опущенный из точки на эту прямую.

Длина перпендикуляра, опущенного из точки на ось Ox, равна координате y этой точки. По условию точка A имеет координаты (4, 9), таким образом, искомое расстояние равно 9.

Ответ: 9.

 

1. Заметим, что данная фигура является сектором круга, причем один из радиусов, ограничивающих сектор, проходит по вертикали сетки, а второй радиус проходит по диагоналям клеток.

Этот сектор занимает три восьмых площади круга, то есть его площадь можно вычислить по формуле

где R — радиус круга.

3. Заметим, что окружность этого круга проходит через некоторые узлы сетки (пометим их красным на рис.).

С помощью одного из этих узлов найдем радиус окружности.

Для этого построим прямоугольный треугольник с гипотенузой, соединяющей центр окружности и узел на окружности, и прямым углом, совпадающим с углом сетки.

Так как сторона одной клетки 1 см, то длины катетов 1 см и 3 см.

Теперь радиус окружности (гипотенузу треугольника) можно вычислить по теореме Пифагора:

4. Подставим значение радиуса в формулу площади для данной фигуры:

В ответе требуется записать :

Ответ: 3,75.

1. Данная фигура является кольцом, полученным из круга большего радиуса «вырезанием» из него концентрического круга меньшего радиуса.

Площадь круга вычисляется по формуле , где R — радиус круга.

Площадь кольца можно вычислить вычитанием из площади большего круга площади меньшего: , где R — радиус большего круга, а r — радиус меньшего.

2. Заметим, что окружности данных кругов проходят через некоторые узлы сетки.

На рисунке красными точками отметим узлы, принадлежащие меньшей окружности, а синими точками - узлы, принадлежащие большей окружности.

По условию сторона одной клетки равна 1 см. Соединив центр окружности с одним из красных узлов, выясним, что радиус меньшей окружности r = 2 см.

С помощью одного из синих узлов найдем радиус большей окружности. Для этого построим прямоугольный треугольник с гипотенузой, соединяющей центр окружности и узел на окружности, и прямым углом, совпадающим с углом сетки. Длины катетов этого треугольника 1 см и 2 см. Теперь радиус окружности (гипотенузу треугольника) можно вычислить по теореме Пифагора:

3. Подставим значения радиусов в формулу площади для данной фигуры:

В ответе требуется записать

Ответ: 1.

1. Заметим, что окружности данных кругов проходят через некоторые узлы сетки. Радиус внешнего круга — 5 клеток, радиус внутреннего — 2 клетки.

Площадь круга вычисляется по формуле , где R — радиус круга.

Площади внешнего и внутреннего кругов относятся как

2. Площадь внутреннего круга

Подставим это значение в отношение площадей:

3. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов:

Ответ: 21.

1. Площадь круга вычисляется по формуле , где R — радиус круга.

Заметим, что один из радиусов, ограничивающих заштрихованный сектор, проходит по вертикали сетки, а второй радиус проходит по диагоналям клеток.

Заштрихованная часть занимает семь восьмых площади всего круга, то есть ее площадь можно вычислить по формуле

2. По условию площадь заштрихованной части

Подставим это значение в предыдущую формулу:

Выразим площадь круга:

Ответ: 88.