Тема 19. Числа и их свойства

Это надо знать!

Признаки делимости

− Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2.

− Число делится на 4, если последние две его цифры образуют число, делящееся на 4.

− В общем случае: число делится на  тогда и только тогда, когда k его последних цифр образуют число, делящееся на  * Если и только если.

− Число делится на 3, если сумма его цифр дает число, делящееся на 3.

− Число делится на 9, если сумма его цифр дает число, делящееся на 9.

− Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

− Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.

− Число делится на 7, если знакопеременная сумма чисел, образованных тройками его цифр, взятыми с конца, делится на 7.

− Число делится на 11, если разность сумм цифр, стоящих на четных и нечетных местах в его записи, кратна 11.

− Число делится на 7, 11 или 13 тогда и только тогда, когда разность между числом, выраженным последними тремя цифрами, и числом, выраженным остальными цифрами, делится, соответственно, на 7, 11 или 13.

Вопрос 1. Является ли число 123321123321 квадратом какого-либо целого числа?

Ответ. Сумма цифр числа равна 24, следовательно, число кратно трем, но не кратно девяти. Значит, число не является точным квадратом.

Вопрос 2. Является ли число 12233212 быть точным квадратом?

Ответ. Нет, не является, поскольку квадраты чисел не заканчиваются на 2, 3, 7, 8.

Задача 3. Какой цифрой заканчивается число ?

Решение. Число  заканчивается той же цифрой, что и само число а, поэтому числа  заканчиваются на 2. Далее имеем:

 последняя цифра произведения равна 6.

Другое решение. Выпишем первые степени двойки:  , … Заметим, что последние цифры повторяются с периодом 4. Поскольку  чикл будет повторен 98 раз, поэтому последней цифрой будет 6.

Третье решение. Число 16 заканчивается на 6, а любая степень числа, заканчивающегося на 6, заканчивается на 6. Так как  последняя цифра степени — 6.

Задача 4. Найти все натуральные числа, меньшие 100, которые при делении на 13 дают в остатке 12, а при делении на 5 дают в остатке 4.

Решение. Искомые числа записываются в виде13k+12 , где k — натуральное число, причем 13k+12<100. Находим натуральные решения неравенства: 12, 25, 38, 51, 64, 77, 90. Поскольку при делении на 5 искомые числа дают в остатке 4, они заканчиваются на 4 или 9. Таким свойством обладает только одно из найденных чисел — число 64.

Уравнения в целых числах

Линейные уравнения в целых числах ax+by=c, решаются на основании следующей теоремы. Если коэффициенты a и b не имеют общих делителей, отличных от делителей числа с, то уравнение имеет бесконечно много решений, иначе уравнение не имеет решений. Если пара чисел  являются одним из решений, то все решения даются системой

Например, уравнение 13k+12=5m+4, к которому можно свести предыдущую задачу, записывается в виде 13k-5m=-8, числа m=n=-1 являются одним из целых решений. Тогда все решения задаются системой

Осталось найти натуральные и меньшие 100 числа 13k+12=13(-1+5t)+12=65t-1, очевидно, что единственным таким числом является 64.

Нелинейные уравнения в целых числах решаются обычно разложением на множители. Например, найдем целые решения уравнения

Решение: Поскольку получаем: Поскольку 13 — простое число, один из множителей равен 1, другой 13 или один из множителей равен -1, а другой равен -13. Перебирая эти случаи, находим ответ: x=2, y=1.

Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида служит для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел. В простейшей реализации он сводится к следующему: пара положительных чисел заменяется новой парой, состоящей из меньшего числа и разности между большим и меньшим числом, эта операция повторяется до тех пор, пока числа не станут равными; найденное число и есть НОД.

Пример:

НОД(1001;121)=НОД(880;121)=...=НОД(33;121)=НОД(33;22)=НОД(11;11)=11.

Прогрессии

Арифметическая прогрессия. Арифметической про­грессией называется число­вая последовательность, ка­ждый член которой, начи­ная со второго, равен пре­дыдущему члену, сложен­ному с постоянным для данной последовательности числом, называемым разно­стью прогрессии.

Пусть  —  n-й член прогрессии, d — ее раз­ность,  — сумма n пер­вых членов. То­гда:

Геометрическая прогрессия. Геометрической про­грес­сией называется число­вая последовательность, пер­вый член которой отли­чен от нуля, каждый член которой, начиная со вто­рого, равен предыдущему, умноженному на постоянное для данной последователь­ности отличное от нуля число, называемое знамена­телем прогрессии.

Пусть  — n-й член прогрессии, q — ее знаме­натель,  — сумма n пер­вых членов. То­гда:

Бесконечная геометрическая прогрессия, для которой |q|<1, называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией, ее сумма равна