Тема 18. Уравнения, неравенства, системы с параметром

Это надо знать!

При математическом моделировании различных процессов часто возникают задачи с параметрами — уравнения или неравенства, их системы, поведение которых зависит от параметров. Основными методами решения задач с параметрами являются аналитический и графический, их комбинация иногда называется графоаналитическим методом.

Применение этих подходов поясним на конкретных примерах, снабдив их некоторыми общими замечаниями.

Если коэффициент при старшей степени переменной в уравнении окажется равен нулю, степень уравнения понизится (например, квадратное уравнение станет линейным). Этот случай необходимо исследовать.

Задание 1. Решите уравнение

Решение. Если коэффициент при переменной отличен от нуля, на него можно разделить, получим:  при  то есть при  и

Случаи, когда старший коэффициент равен нулю, исследуем отдельно.

Если a=1, то 0x=0, тогда x — любое число. 

Если a=-1, то 0x=-1, это уравнение не имеет решений.

Ответ:

Задание 2. Определите количество корней уравнения  в зависимости от a.

Решение. Рассмотрим случай, когда старший коэффициент равен нулю: если a=0, уравнение примет вид -x+1=0, оно имеет единственное решение.

Далее анализируем дискриминант D=1-4a. Если дискриминант положителен, уравнение имеет два решение, если равен нулю — одно решение, если дискриминант отрицателен, уравнение не имеет решений. Учитывая случай a=0, получаем: при  — нет решений; при  — одно решение;  — два решения; a=0 — одно решение; a<0 — два решения.

Если коэффициент при старшей степени переменной в неравенстве зависит от параметра, необходимо анализировать три случая: коэффициент равен нулю, больше нуля и меньше нуля.

Задание 3. Решите неравенство

Решение. Рассмотрим случаи, когда старший коэффициент равен нулю, отрицателен (понадобится менять знак неравенства при делении на коэффициент), положителен.

Если a=0 то   x — любое число; если a=-1, то  решений нет.

Если то  Имеем:

Если  то  Имеем

Ответ:

Если в системе уравнений  коэффициенты при переменных пропорциональны и свободные члены им пропорциональны, система имеет бесконечно много решений. Система не имеет решений, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены им не пропорциональны. Если коэффициенты при переменных непропорциональны, система имеет единственное решение.

Задание 4. При каких значениях параметра система  имеет бесконечно много решений? Решите её при этом значении параметра.

Решение. Система имеет бесконечно много решений, если   то есть если a=2. При найденном значении параметра система обращается в одно уравнение x+y=1, решениями которого являются пары чисел (x; 1-x).

При решении задач, связанных с корнями квадратного трехчлена, полезной оказывается теорема Виета: числа  и  являются корнями квадратного уравнения  тогда и только тогда, когда

Задание 5. Решим неравенство

Решение. Находим корни числителя, пользуясь приведенной теоремой:  корень знаменателя: x=3. Далее наносим найденные корни на числовую ось и решаем неравенство методом интервалов.

Ответ:

Зачастую при решении задач с параметрами удобны геометрические интерпретации.

Задание 6. При каких a система  имеет 4 решения?

Решение. Уравнение (1) задает квадрат, центр которого находится в начале координат, а диагонали расположены на координатных осях и имеют длину 2 (см. рис.). Уравнение (2) задает окружность с центром в начале координат и радиусом  Система уравнений имеет 4 решения, когда квадрат и окружность имеют 4 общие точки, то есть если окружность вписана в квадрат или описана вокруг него.

Ответ: a=0,5; a=1.

Чрезвычайно полезны теоремы о расположении корней квадратного трехчлена.

Пусть  и пусть уравнение  имеет два различных корня  и . Рассмотрим случаи взаимного расположения этих корней относительно чисел  и  и укажем необходимые и достаточные условия, им соответствующие.

Число разделяет корни — 

Корни лежат вне отрезка —

Один из корней лежит на отрезке, другой лежит левее отрезка:

Один из корней лежит на отрезке, другой лежит правее отрезка:

Оба корня больше заданного числа: 

Оба корня меньше заданного числа:

Оба корня лежат внутри отрезка:

Задание 7. Определите, при каких значениях параметра a корни уравнения  по модулю больше двух.

Решение. Рассмотрим случай, когда старший коэффициент равен нулю. Если a=0, то x=11 — удовлетворяет условию. Если  применяем теорему:

корни квадратного трехчлена  расположены вне отрезка [-2;2] тогда и только тогда, когда  Имеем:

Ответ:

К задачам на расположение корней квадратного трехчлена введением замены приводятся многие показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства.

Задание 8. При каких значениях параметра a уравнение  имеет единственное решение?

Решение. Преобразуем уравнение:

Полученная система, а вместе с ней и исходное уравнение имеет единственное решение, в двух случаях.

1 случай. Дискриминант равен нулю и корень уравнения при этом больше единицы:

При a=0 имеем:  — не удовлетворяет условию x>1.

При a=-4 имеем:  — не удовлетворяет условию x>1.

2 случай. Уравнение имеет два корня, ровно один из которых больше 1. В этом случае для , имеем: либо f(1)=0 при этом , что невозможно; либо f(1)<0, что даёт

Ответ: a>0.