Тема 18. Уравнения, неравенства, системы с параметром

 Задача эквивалентна такой формулировке: "при каких значениях a график функции  пересечёт прямую менее чем в трёх различных точках?" 

 Для ответа на этот вопрос построим график функции . Имеем:

 Таким образом, наш график состоит из 2 кусков одной прямой и одного куска параболы. Построив его и пересекая горизонтальными прямыми вида , убеждаемся, что годятся все и - в этом случае пересечений 2 или 1. В случае пересечений 3. 

Ответ:  

Воз­ве­дем в квад­рат:

Не­ра­вен­ство за­да­ет на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти «верх­нюю» по­лу­плос­кость с гра­ни­цей а урав­не­ние при ― окруж­ность с цен­тром  и ра­ди­у­сом  (см. ри­су­нок). При решений у уравнения нет.

Окруж­ность и по­лу­плос­кость не имеют общих точек тогда и толь­ко тогда, когда ра­ди­ус окруж­но­сти мень­ше по­ло­ви­ны диа­го­на­ли PO квад­ра­та APBO, т. е.,  от­ку­да

При урав­не­ние, а, сле­до­ва­тель­но, и вся си­сте­ма ре­ше­ний не имеют, а при ре­ше­ни­ем урав­не­ния яв­ля­ет­ся пара  ко­то­рая не удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ству

Ответ:  

 Избавимся от логарифма, возведя обе части в степень . Это можно сделать, если , а также если выражение под логарифмом положительно. Запишем вместе:

 

 (обратите внимание: мы не писали условие на положительность функции под логарифмом, так как нам и так известно, что  при ).

 Нас интересуют корни этой системы на . Условие задачи учитывает неравенство, идущее второй строчкой; Из третьего условия следует, что мы должны исключить случай . Поступим следующим образом:

 а) Найдём те значения a, при которых хотя бы один корень системы лежит на полуинтервале

 б) Исключим те значения a, при которых x=0, а второй корень квадратного уравнения вне полуинтервала.

  Так как график функции при любом a является параболой с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке , нам достаточно, чтобы в вершине значение параболы было неположительным, а хотя бы на одном из концов - положительным:

 

 

Теперь учтём условие . Для этого через уравнение найдём a:

.

 Исключаем из ответа a=7.

 

Ответ:  

Рас­смот­рим функ­цию  Она опре­де­ле­на при воз­рас­та­ет на об­ла­сти опре­де­ле­ния (так как возрастает отдельно корень и отдельно логарифм) и при­ни­ма­ет все зна­че­ния на интервале Зна­чит, урав­не­ние  имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при любом a. Это ре­ше­ние при­над­ле­жит от­рез­ку  тогда и толь­ко тогда, когда  и  (Из соображений чертежа: в этом случае график, возрастая из отрицательных чисел в положительные, пересечёт ось OX где-то на данном отрезке). По­лу­ча­ем си­сте­му не­ра­венств:

Ответ:  

 Пусть Нарисуем оба графика. Первый представляет из себя гиперболу с асимптотами второй - два луча, исходящих из точки (5;0) и углом между ними, зависящим от a. 

 Сразу ясно, что при графики не пересекаются; далее будем рассматривать только случай a>0.

 При a>0 правая ветвь модуля всегда пересекает гиперболу; таким образом, 1 решение есть всегда. Теперь рассмотрим пересечение левой ветви модуля (в этом случае ) с гиперболой (оно должно быть ровно одно). Получаем: 

 Мы свели задачу к следующей: "при каких значениях a>0 уравнение (*) имеет ровно один корень на [0;5]?" Заметим, что при a>0 парабола    направлена ветвями вверх и имеет вершину в точке  Таким образом, условие выполняется либо при условии D=0 (корень будет ровно один в точке x=2), либо при системе условий:

 

 (первое условие гарантирует наличие корней, второе - что меньший корень будет меньше 0, а третье - что больший корень будет между 2 и 5).

 Осталось найти a. Для условия D = 0 имеем:

 

 

 Для второй системы условий:  

 

 Третье условие выполняется всегда. Пересечение первых двух даёт условие

Ответ:  

За­пи­шем урав­не­ние в виде Рас­смот­рим две функ­ции: и Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся по­лу­окруж­ность ра­ди­у­са 2 с цен­тром в точке (-1;0) ле­жа­щая в верх­ней по­лу­плос­ко­сти. При каж­дом зна­че­нии a гра­фи­ком функ­ции g(x) яв­ля­ет­ся пря­мая с уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том -a, про­хо­дя­щая через точку M(4;2).

Урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень, если гра­фи­ки функ­ций f(x) и g(x) имеют един­ствен­ную общую точку: либо пря­мая ка­са­ет­ся по­лу­окруж­но­сти, либо пе­ре­се­ка­ет её в един­ствен­ной точке.

Ка­са­тель­ная MC, про­ведённая из точки M к по­лу­окруж­но­сти, имеет уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент, рав­ный нулю, то есть при a=0 ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень. При -a<0 пря­мая не имеет общих точек с по­лу­окруж­но­стью.

Пря­мая MA, за­дан­ная урав­не­ни­ем про­хо­дит через точки M(4;2) и A(-3;0) сле­до­ва­тель­но, её уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент При  пря­мая, за­дан­ная урав­не­ни­ем имеет уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент не боль­ше, чем у пря­мой MA и пе­ре­се­ка­ет по­лу­окруж­ность в двух точ­ках. При пря­мая, за­дан­ная урав­не­ни­ем имеет уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент боль­ше, чем у пря­мой MA и не боль­ше, чем у пря­мой MB и пе­ре­се­ка­ет по­лу­окруж­ность в един­ствен­ной точке. По­лу­ча­ем, что при  ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень. При  пря­мая не имеет общих точек с по­лу­окруж­но­стью.

 

Ответ:  

Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

График первого уравнения строится по аналогии с построением функции вида : мы строим график , после чего стираем всё ниже нуля и отражаем верхнюю часть относительно OX. 

Вто­рое урав­не­ние за­да­ет окруж­ность ра­ди­у­сом |a| с цен­тром (4;0). На ри­сун­ке видно, что си­сте­ма имеет во­семь ре­ше­ний, толь­ко если ра­ди­ус окруж­но­сти мень­ше 2 и окруж­ность два­жды пе­ре­се­ка­ет каж­дую ветвь каж­дой из па­ра­бол. Это усло­вие в силу сим­мет­рии рав­но­силь­но тому, что окруж­ность пе­ре­се­ка­ет пра­вую ветвь па­ра­бо­лы  в двух точ­ках с по­ло­жи­тель­ны­ми ор­ди­на­та­ми.

По­лу­ча­ем урав­не­ние  от­ку­да 

ко­то­рое долж­но иметь два раз­лич­ных по­ло­жи­тель­ных корня. Сле­до­ва­тель­но, дис­кри­ми­нант и сво­бод­ный член этого урав­не­ния долж­ны быть по­ло­жи­тель­ны:

Ответ:  

Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

Не­ра­вен­ство  задаёт на плос­ко­сти по­ло­су, гра­ни­ца ко­то­рой — пара па­рал­лель­ных пря­мых: и

Если  то си­сте­ма не имеет ре­ше­ний, по­сколь­ку пра­вая часть урав­не­ния ста­но­вит­ся от­ри­ца­тель­ной. Если  то урав­не­ние при­ни­ма­ет вид:  и задаёт един­ствен­ную точку  ко­ор­ди­на­ты ко­то­рой удо­вле­тво­ря­ют первому не­ра­вен­ству. Сле­до­ва­тель­но, при си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Рас­смот­рим слу­чай Тогда урав­не­ние опре­де­ля­ет окруж­ность ра­ди­у­сом  Вообще говоря, совершенно не очевидно, когда произвольная параметрическая окружность касается произвольной прямой, однако заметим, что центр  окруж­но­сти лежит на пря­мой y=2x, ко­то­рая пер­пен­ди­ку­ляр­на гра­нич­ным пря­мым по­ло­сы (произведение угловых коэффициентов равно -1) и пе­ре­се­ка­ет их в точ­ках и  Си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, если толь­ко окруж­ность внеш­ним об­ра­зом ка­са­ет­ся по­ло­сы в точке A или в точке B. Если точка ка­са­ния — A, то  что не­воз­мож­но. Окруж­ность ка­са­ет­ся по­ло­сы в точке B, толь­ко если a>2 (это условие возникает из-за того, что центр окружности должен быть не внутри полосы, а снаружи) и  По­лу­ча­ем:

 

Усло­вию a>2 удо­вле­тво­ря­ет толь­ко ко­рень a=3.

Ответ:  

Пер­вое урав­не­ние пре­об­ра­зу­ем к виду

или

Оно озна­ча­ет, что
, по­сколь­ку при осталь­ных зна­че­ни­ях его левая часть боль­ше 0. Под­ста­вим эти зна­че­ния во вто­рое урав­не­ние и по­лу­чим , от­ку­да

Таким об­ра­зом, си­сте­ма имеет ре­ше­ние , при  при осталь­ных а ре­ше­ний нет.

Ответ: при  

 x=-1, y=1, при остальных a решений нет.

По­сколь­ку и  и, зна­чит,  левая часть вто­ро­го урав­не­ния си­сте­мы не мень­ше, чем 1. Так как его пра­вая часть не боль­ше 1, равенство возможно только при достижении экстремальных значений. Таким образом, второе уравнение рав­но­силь­но си­сте­ме

из ко­то­рой на­хо­дим, что

Пер­вое урав­не­ние имеет целые ко­эф­фи­ци­ен­ты и целый ко­рень  (по полученному выше). Так как  — тоже целое число и из ра­вен­ства  по­лу­ча­ем, что это не­чет­ное число, де­ля­щее число 2. Та­ки­ми чис­ла­ми яв­ля­ют­ся 1 и -1.

При x=1 на­хо­дим p=-3, при x=-1 на­хо­дим p=3.

Ответ: