Тема 17. Практические задачи

Это надо знать!

Сложные проценты

Решение задач на вычисление сложных процентов основано на использовании следующих формул: величина  увеличиваемая на p% в течение n периодов в конце n-го этапа становится равной

при этом

 При последовательном изменении величины  на % в течение n периодов, она становится равной

...

где величины  могут быть как положительными при увеличении величины на p%, так и отрицательными при уменьшении величины на p%.

Необходимо также понимать эквивалентность утверждений «больше на 10%» и «больше в 1,1 раза», «меньше на 75%» и «меньше в 4 раза». Взаимосвязь этих утверждений можно записать в виде формул:

если величина А больше величины В на p%, то

если величина А меньше величины В на p%, то

Кредиты

Выбирая кредитную программу, потенциальные заемщики ориентируются на процентную ставку по кредиту. Однако на сумму выплачиваемых процентов влияет не только ставка, но и метод погашения кредита. Таких методов существует два: дифференцированные платежи и аннуитетные платежи.

Дифференцированные платежи характерны тем, что задолженность по кредиту погашается равномерно начиная с самых первых выплат, а проценты начисляются на фактический остаток. Таким образом, каждый последующий платеж меньше предыдущего.

Аннуитет — начисление равных платежей на весь срок погашения кредита. При этом в первой половине срока погашения задолженность по кредиту практически не гасится — выплачиваются в большей части проценты. Эта особенность делает платежи относительно небольшими, но увеличивает общую сумму начисляемых процентов.

Чтобы наглядно показать разницу в погашении кредита при разных методах начисления платежей, приведем графики погашения кредита в размере 1 000 000 руб., взятого на 20 лет при 12% годовых (серым выделена выплата процентов по кредиту, синим — выплата тела кредита).

График погашения кредита дифференцированными платежами

График погашения кредита аннуитетными платежами

Теорема об аннуитетных платежах. Для случая n платежных периодов (дней, месяцев, лет) справедливы формулы, связывающие сумму кредита , коэффициент m=1+0,01q где q% — процентная ставка за период, величину текущего долга  и постоянную выплату х:

и тогда

Теорема о дифференцированных платежах.

Пусть на n пла­теж­ных пе­ри­о­дов (дней, ме­ся­цев, лет) в кре­дит взята сумма  причем каж­дый пла­теж­ный пе­ри­од долг сна­ча­ла воз­растет на q% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го пла­теж­но­го пе­ри­о­да, а затем вно­сит­ся опла­та так, что долг ста­но­вит­ся на одну и ту же сумму мень­ше долга на конец преды­ду­ще­го пла­теж­но­го пе­ри­о­да. Тогда ве­ли­чи­на пе­ре­пла­ты П и пол­ная ве­ли­чи­на вы­плат В за все время вы­пла­ты кре­ди­та да­ют­ся фор­му­ла­ми

Задачи на оптимальный выбор

Математическое программирование — область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.

Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экономических возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием оптимальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это составляет математическую модель. Математическая модель задачи — это отражение исходной экономической ситуации в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т. д.

Модель задачи математического программирования включает:

- совокупность неизвестных величин, действуя на которые систему можно совершенствовать. Их называют планом задачи (вектором управления, решением, управлением, стратегией, поведением и др.);

- целевую функцию (функцию цели, показатель эффективности, критерий оптимальности, функционал задачи и др.).

 Целевая функция позволяет выбирать наилучший вариант из множества возможных. Наилучший вариант доставляет целевой функции экстремальное (наибольшее или наименьшее) значение. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень обслуживания или дефицитности, число комплектов, отходы и т. д.

 Эти условия следуют из ограниченности ресурсов, которыми располагает общество в любой момент времени, из необходимости удовлетворения насущных потребностей, из условий производственных и технологических процессов. Ограниченными являются не только материальные, финансовые и трудовые ресурсы, таковыми могут быть возможности технического, технологического и вообще научного потенциала, причем нередко потребности превышают возможности их удовлетворения.

Математически ограничения выражаются в виде уравнений и неравенств. Их совокупность образует область допустимых решений (область экономических возможностей). План, удовлетворяющий системе ограничений задачи, называется допустимым. Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, называется оптимальным. Оптимальное решение, вообще говоря, не обязательно единственно. Возможны случаи, когда оно не существует, имеется конечное или бесчисленное множество оптимальных решений.