www.abcege.ru - Разбор заданий

Задание 1 Практические задачи

Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.
Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку (сверх кредита)?

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Пусть сумма, которую Сергей взял в кредит, равна S. Сумма долга каждый месяц уменьшается на одну и ту же величину. Назовем эту величину d, тогда после некоторой выплаты в конце первого месяца сумма будет составлять
S − d, после выплаты в конце второго S − 2d, а после выплаты в конце третьего месяца S − 3d и т. д. После выплаты в конце девятого месяца сумма долга составляет S − 9d и, одновременно, равна нулю (кредит был взят на 9 месяцев):

S−9d = 0.

Прибавим 9d к обеим частям равенства:

S = 9d.

Выразим d:

$\text{[math]}$

Рассмотрим последовательность $\text{[math]}$ долговых сумм Сергея, начиная с момента получения кредита (обозначим этот член последовательности $\text{[math]}$ ) и заканчивая выплатой кредита в конце 9 месяца ( $\text{[math]}$ ):

Заметим, что это арифметическая прогрессия с нулевым членом S и разностью $\text{[math]}$ . Запишем формулу k-го члена этой прогрессии:

$\text{[math]}$

Отметим, что $\text{[math]}$ — это сумма долга, которая получается в конце k-го месяца после уплаты части долга Сергеем и не меняется вплоть до начисления процентов в конце следующего k + 1-го месяца.

2. Общая сумма, которую уплатил Сергей банку, складывается из сумм, которые он платил после начисления процентов в конце каждого месяца.

Пусть $\text{[math]}$ — сумма, уплаченная Сергеем в конце k-го месяца. Тогда в конце k-го месяца сумма долга сначала увеличивается на 12%, а затем уменьшается на $\text{[math]}$ .

Один процент от числа — это $\text{[math]}$ , то есть долг вырастает на $\text{[math]}$ . Если до начисления процентов долговая сумма равняется $\text{[math]}$ , то после начисления процентов долговая сумма составляет

$\text{[math]}$

После этого Сергей выплачивает сумму $\text{[math]}$ и получается сумма

$\text{[math]}$

3. Так как $\text{[math]}$

то $\text{[math]}$

Подставим эти выражения в формулу

Вычтем из обеих частей равенства S:

$\text{[math]}$

Прибавим к обеим частям равенства $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Приведем подобные:

$\text{[math]}$

Выразим $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

4. Обратим внимание, что последовательность $\text{[math]}$ сумм, уплаченных Сергеем, представляет собой арифметическую прогрессию.
Докажем это. Последовательность является арифметической прогрессией, если для нее выполнено характеристическое свойство арифметической прогрессии:

$\text{[math]}$

Заметим, что характеристическое свойство выполнено для всех последовательностей, в которых значение элемента последовательности зависит от его номера k как линейная функция. Действительно, пусть

$\text{[math]}$

тогда

Последовательность сумм, уплаченных Сергеем,

$\text{[math]}$

является линейной функцией от переменной k, поэтому она является арифметической прогрессией.

5. Сумма первых n членов арифметической прогрессии можно вычислить по формуле

$\text{[math]}$

Поэтому общая сумма, которую уплатил Сергей банку за 9 месяцев, равна

Отсюда

6. Таким образом, Сергей уплатил банку 1,6 · S, что на 0,6 · S больше предоставленного ему кредита S.

$\text{[math]}$ %

Значит сумма, уплаченная Сергеем банку сверх кредита, составляет 60% от суммы кредита.

Ответ: 60%.

Задание 2 Практические задачи

31 декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на %), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2592000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4392000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Пусть сумма, которую Пётр взял в кредит, равна S. Для удобства обозначим выплаты по четырёхлетней схеме за $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ = 2592000), а выплаты по двухлетней схеме за $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ = 4392000).

Каждый год сумма долга возрастает на a%. Один процент от числа — это $\text{[math]}$ a, то есть долг вырастает на $\text{[math]}$ = 0,01 · a. Если до начисления процентов долговая сумма равняется C, то после начисления процентов долговая сумма составляет

C+0,01a·C = C(1+0,01a).

Обозначим, для удобства, (1+0,01a) за b. Тогда после начисления процентов долговая сумма составляет Cb.

2. Рассмотрим четырёхлетнюю схему выплат.
Пётр взял в кредит сумму

S.

31 декабря 2015 года сумма долга увеличивается до

Sb.

После этого Пётр выплачивает $\text{[math]}$ и сумма долга становится

Sb − $\text{[math]}$ .

31 декабря 2016 года сумма долга увеличивается до

$\text{[math]}$

После этого Пётр выплачивает A1 и сумма долга становится

$\text{[math]}$

31 декабря 2017 года сумма долга увеличивается до

$\text{[math]}$

После этого Пётр выплачивает A1 и сумма долга становится

$\text{[math]}$

Наконец, 31 декабря 2018 года сумма долга увеличивается до

$\text{[math]}$

после чего Пётр выплачивает A1 и погашает долг:

$\text{[math]}$

3. Рассмотрим двухлетнюю схему выплат. Пётр взял в кредит сумму

S.

31 декабря 2015 года сумма долга увеличивается до

Sb.

После этого Пётр выплачивает $\text{[math]}$ и сумма долга становится

$\text{[math]}$

31 декабря 2016 года сумма долга увеличивается до

$\text{[math]}$

После этого Пётр выплачивает $\text{[math]}$ и погашает долг:

$\text{[math]}$

4. Имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными S и b:

Из второго уравнения выразим $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Подставим это выражение в уравнение

Раскроем скобки:

Приведем подобные:

Отметим, что коэффициенты при $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ одинаковы. Кроме того равны коэффициент при b и свободный член. Разложим многочлен на множители:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

В первом уравнении выразим b. К обеим частям второго уравнения добавим $\text{[math]}$ :

Выразим во втором уравнении $\text{[math]}$ :

Вычислим дробь из правой части второго уравнения:

Отсюда

По условию задачи b — положительное число. Поэтому

b = 1,2.

1 + 0,01a = 1,2.

Отсюда

0,01a = 0,2.

a = 20.

Таким образом Пётр взял деньги в банке под 20%.

Ответ: 20%.

Задание 3 Практические задачи

Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Сумма на счете каждый год возрастает на 10%. Один процент от числа — это $\text{[math]}$ , то есть сумма на счете возрастает на $\text{[math]}$ = 0,1. Допустим, Алексей положил на счет сумму $\text{[math]}$ , тогда на следующий год на счету будет сумма

$\text{[math]}$

Через год эта сумма снова увеличится на 0,1 и будет составлять

$\text{[math]}$

а еще через год

$\text{[math]}$

Сумма на счете сначала растет на $\text{[math]}$ , потом на $\text{[math]}$ , а потом на $\text{[math]}$ , а стоимость ценной бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей.

2. Очевидно, что в абсолютном значении (в тыс. рублей) прирост в банке с каждым годом увеличивается, а хранение средств в ценной бумаге дает всегда одинаковый прирост.

Алексей кладет на счет средства от продажи ценной бумаги. Если Алексей продаст ценную бумагу слишком рано, то прирост в банке будет некоторое время меньше 2 тыс. рублей. Например, если Алексей продаст ценную бумагу в первый год и положит на счет 7 тыс. рублей, то прирост на следующий год составит всего лишь 0,1 · 7 = 0,7 тыс. рублей.

Поэтому для получения максимального дохода продать ценную бумагу нужно в тот год, когда 10% от стоимости бумаги впервые станут составлять не меньше, чем 2 тыс. рублей:

$\text{[math]}$

Разделим на 0,1:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ (тыс. руб.)

3. Алексей приобрел ценную бумагу за 7 тыс. рублей, значит через год она стала стоить 7+2 = 9 тыс. рублей, через два года 9+2 = 11 тыс. рублей, через три года 11 + 2 = 13 тыс. рублей. Таким образом цена бумаги представляет собой арифметическую прогрессию с разностью d = 2:

7,9,11,13,...

Первый член прогрессии равен 7.

k-ый член арифметической прогрессии вычисляется по формуле

$\text{[math]}$

поэтому цена бумаги в течение k-го года вычисляется как

$\text{[math]}$

Допустим, Алексей продает ценную бумагу в течение k-го года. Сумма, которую он кладет на счет равна стоимости ценной бумаги:

$\text{[math]}$

4. Подставим выражение для $\text{[math]}$ в неравенство

$\text{[math]}$ (тыс. руб.)

$\text{[math]}$

Вычтем из обеих частей неравенства 5:

$\text{[math]}$

Разделим обе части неравенства на 2:

$\text{[math]}$

k — целое число, которое означает год, в течение которого Алексей продает ценную бумагу. Для получения максимального дохода нужно взять минимальное k, удовлетворяющее неравенству (см. пункт 2). Минимальное целое число, удовлетворяющее этому неравенству, —

k = 8.

Таким образом, если Алексей продаст бумагу в течение восьмого года, он получит через 30 лет максимальную сумму на счете.

Ответ: в течение восьмого года.

Задание 4 Практические задачи

Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $\text{[math]}$ часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $\text{[math]}$ часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.

Григорий готов выделять 5000000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Отметим, что производительность каждого из заводов обратно пропор- циональна количеству часов его работы в неделю. Под производительностью завода понимается количество произведенных деталей в единицу времени.

Например, производительность первого завода

$\text{[math]}$

производительность второго завода

$\text{[math]}$

Хотя производительность второго завода больше, чем производительность первого, для производства максимального количества товара недостаточно оплатить производство только на более производительном заводе: если завод будет работать слишком много, его производительность упадет.

2. Григорий готов выделять 5000000 рублей в неделю на оплату труда рабочих, причем 1 час работы стоит 500 рублей.

Значит Григорий готов оплатить в неделю $\text{[math]}$ часов работы. Пусть из 10000 часов в неделю $\text{[math]}$ часов работают рабочие первого завода, а $\text{[math]}$ часов рабочие второго завода.

$\text{[math]}$

3. Обозначим за s количество произведенного заводами товара за неделю.

По условию

$\text{[math]}$

Вычтем из обеих частей этого равенства 3x:

$\text{[math]}$

Выразим y:

$\text{[math]}$

Подставим выражение для y в равенство

Умножим обе части равенства на 16:

4. Имеем уравнение с двумя неизвестными x и s. Рассмотрим, при каких s это уравнение имеет решения x. Перепишем уравнение:

$\text{[math]}$

Относительно переменной x это уравнение — квадратное, оно имеет решение тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицательное число. Дискриминант вычисляется по формуле

$\text{[math]}$

где a, b, c — коэффициенты квадратичного многочлена при второй, первой и нулевой степени x соответственно.

Дискриминант неотрицателен:

Разделим обе части неравенства на 4:

Разделим обе части неравенства на −16 (со сменой знака неравенства):

Имеем квадратичное неравенство. Чтобы его решить, найдем, где

$\text{[math]}$

Прибавим к обеим частям уравнения 250000:

$\text{[math]}$

Парабола $\text{[math]}$ направлена ветвями вверх, поэтому решениями неравенства

$\text{[math]}$

являются s ∈ (−500, 500).

5. Максимальное значение s, при которых уравнение разрешимо относительно x, —

s = 500.

При этом x и y должны быть целыми числами. Проверим, что при s = 500 мы получим целые x и y. Решим уравнение

$\text{[math]}$

при s = 500:

Разделим обе части уравнения на 25:

$\text{[math]}$

Обратим внимание, что левая часть уравнения — полный квадрат:

$\text{[math]}$

Отсюда

x−60 = 0.

Выразим x:

x = 60.

Найдем y:

Таким образом решение s = 500 нам подходит.

Ответ: 500 единиц товара.

Задание 5 Практические задачи

Производство x тыс. единиц продукции обходится в $\text{[math]}$ млн. рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн. рублей) составляет px−q. При каком наименьшем значении p через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн. рублей?

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Годовая прибыль от продажи продукции

Суммарная прибыль за три года вычисляется умножением годовой прибыли на три:

Требуется найти наименьшее p, при котором значение $\text{[math]}$ не меньше 75 млн. рублей.

2. Отметим, что функция суммарной прибыли

$\text{[math]}$

зависит не только от цены за единицу продукции p, но и от количества произведенной продукции x.

Будем исходить из того, что производитель выпускает такое количество продукции, чтобы его прибыль была максимальной.

$\text{[math]}$ является квадратичной функцией, графиком которой является парабола, направленная ветвями вниз (коэффициент −1,5 при $\text{[math]}$ меньше нуля), поэтому максимальное значение эта функция принимает в вершине параболы.