Тема 15. Неравенства

Это надо знать!

Линейное уравнение. Уравнение mx=n, где x – неизвестное, m и n – любые действительные числа, называется линей­ным уравнением относительно x.

В зависимости от значений параметров m и n линейное уравнение может иметь единственное решение, бесконечное множество решений, и может вообще не иметь решений:

1. , тогда – единственное решение;

2. , тогда уравнение имеет вид и его решением является любое действитель­ное число;

3. , тогда уравнение имеет вид , и оно не имеет решений при

Квадратное уравнение.

Уравнение, где x – неизвестное,, b и c – любые действительные числа, на­зывается квадратным уравнением относительно x.

Выражение называется дискриминантом уравнения

В зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, или не иметь действительных корней:

– два корня;

– один корень;

уравнение не имеет действительных корней.

Теорема Виета.

Числа и являются корнями квадратного уравнения тогда и только тогда, когда выполняются условия:

Уравнения с рациональным корнем.

В основе решения уравнений высших степеней, имеющих рациональные корни, лежат следующие теоремы:

1. Если несократимая дробь является корнем многочлена 

c целыми коэффициентами, то q является делителем старшего коэффициента, p – делителем свободного члена

2. Число является корнем уравнения P(x)=0 тогда и только тогда, когда многочлен P(x) де­лится на двучлен без остатка.

Симметрические уравнения.

Уравнение вида

где

называется симметрическим уравнением n-ой степени.

В основе решения симметрических уравнений лежат следующие соображения:

1. Симметрическое уравнение нечётной степени имеет корень x=-1.

2. Частное от деления симметрического многочлена нечётной степени на  двучлен x+1 есть симметрический многочлен чётной степени.

3. Симметрическое уравнение степени 2n делением обеих частей уравнения на (значение x=0 не является корнем данного уравнения) и последующей заменой переменной сводится  к уравнению n-ой степени относительно t.

Метод интервалов.

Пусть правая часть неравенства равна нулю, а левая часть представлена в виде произведения или частного функций с известными промежутками знакопостоянства. Метод основан на следующих положениях:

– Знак произведения (частного) однозначно определяется знаками сомножителей (делимого и делителя).

– Знак произведения не изменится (изменится на противоположный), если изменить знак у чётного (нечётного) числа сомножителей.

– Знак многочлена справа от большего (или единственного) корня совпадают со знаком их старшего коэффициента. В случае отсутствия корней знак многочлена совпадает со зна­ком его старшего коэффициента.

Это надо знать!

Модули.

Определение.

Модулем числа а называется само число а, если оно неотрицательно, и число ему противоположное, если а отрицательно:

Заметим, что из определения вытекают следующие свойства модуля:

Геометрическая интерпретация модуля: |a| это расстояние на числовой оси от точки a до нуля, а модуль разности |a-b| это расстояние между точками a и b.

Уравнения, содержащие знак абсолютной величины.

На области определения соответствующих уравнений справедливы следующие теоремы о равносильных преобразованиях:

Неравенства, содержащие знак абсолютной величины.

На области определения соответствующих неравенств справедливы следующие теоремы о равносильных преобразованиях:

Это надо знать!

Степень.

Пусть дано положительное число а и произвольное действительное число n. Число называется степенью, число а — основанием степени, число n — показателем степени.

Напомним, что по определению полагают:

 

Степень с дробным показателем. Если a — положительное число, m — целое число, а  n — натуральное число и , то

В частности, например,

 

Свойства степени.

Если a и b — положительные числа, x и y — любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:

 

Показательные уравнения, включенные в задания ЕГЭ, приводятся к одному из двух типов:  или  Сформулируем теорему для решения уравнений указанных типов.

Решение простейших показательных уравнений.

Пусть. Тогда:

Показательные неравенства.

Пусть a>0. Тогда на области определения неравенств справедливы следующие теоремы о равносильных преобразованиях.

Аналогично для нестрогих неравенств.

Теорема о знаке.

Напомним, что символом sgn x обозначается знак числа х. Пусть Тогда справедливо равенство:

Это надо знать!

Определение логарифма.

Логарифмом положительного числа b по основанию а () называют показатель степени, в которую нужно возвести  число а, чтобы получить число b. Для логарифма  положительного числа b по основанию а () используется обозначение 

По определению

это равенство называется основным логарифмическим тождеством.

Частные случаи:

 

Логарифм положительного числа b по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается lg b.

Логарифм положительного числа b по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначается ln b.

Свойства логарифмов. Если , n — любое действительное число, то справедливы следующие свойства:

 

Логарифмические  уравнения обычно приводятся к одному из трех  типов: Для этого могут понадобиться формулы свойств логарифмов: Сформулируем теорему для решения уравнений указанных типов.

Решение логарифмических уравнений.

Пусть Тогда:

Кроме того:

 

 

Логарифмические неравенства.

Пусть Тогда на области определения обеих соответствующих неравенств справедливы следующие теоремы о равносильных преобразованиях:

Аналогично для нестрогих неравенств.

Теоремы о знаках.

Напомним, что символом sgn x обозначается знак числа х. Пусть . Тогда на области определения соответствующих функций справедливо равенства:

Теоремы логарифмирования.

Пусть n — любое число, . Тогда для логарифмов произведения, частного и степени справедливы следующие соотношения:

Это надо знать!

Арифметический корень.

Пусть n — натуральное  число, отличное от единицы, а — неотрицательное число. Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-я степень которого равна а.

Для арифметического корня n-й степени из  неотрицательного числа а  используется обозначение . Если n=2, пишут . По определению 

Для любых, в том числе отрицательных, значений а справедлива формула , в частности,

Свойства арифметического корня.

Если a и b — неотрицательные числа, n и k — натуральные числа,  отличные от единицы, m —целое число, то имеют место следующие соотношения:

Если a и b — отрицательные числа, n — натуральное число,  отличное от единицы, то:

Степень с дробным показателем.

Если a — положительное число, m — целое число, а n — натуральное число и , то 

Иррациональные уравнения, включенные в задания ЕГЭ, являются уравнениями одного из трех типов: «корень нечетной степени равен числу», «корень четной степени равен числу» и «квадратный корень равен линейному выражению». Сформулируем теорему для решения уравнений указанных типов.

Решение простейших иррациональных уравнений.

Пусть m — нечетное натуральное число, ,n — четное натуральное число, а — любое число,. Тогда:

Иными словами, обе части уравнений указанного вида возводят в степень так, чтобы избавиться от знака корня. Причем возведение в нечетную степень является равносильным преобразованием при любых значениях правой части, а возведение в четную степень является равносильным преобразованием только в случае неотрицательности правой части уравнения.

Решение простейших иррациональных неравенств.

Решение неравенств, содержащих неизвестное под знаком корня, основано на следующих основных теоремах:

Это надо знать!

Зависимость между тригонометрическими функциями одного аргумента:

Формулы сложения

 

 

Правило для запоминания формул приведения.

Чтобы записать формулу приведения для аргументов  необходимо:

1) определить четверть, в которой лежит аргумент приводимой функции, предполагая  острым углом;

2) определить знак приводимой функции в этой четверти;

3) определить вид функции, не меняя ее названия для аргументов , и изменяя функцию на сходственную для аргументов 

А именно:

 

 

Свойства чётности и нечётности функций:

Формулы тригонометрических функций двойного аргумента:

Формулы понижения степени:

 

 

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

 

 

 

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

Табличные значения тригонометрических функций:

 не существует,

 

не существует, 

Функция синус:

D(sin)=R

E(sin)=[-1;1]

y=0 при 

y>0 при 

y<0 при 

возрастает на 

убывает на 

 

 

нечетная: sin(-x)=-sinx

периодическая: 

Функция косинус:

D(cos)=R

E(cos)=[-1;1]

y=0 при 

y>0 при 

y<0 при 

возрастает на 

убывает на 

 

 

четная: cos(-x)=cosx

периодическая: 

Функция тангенс:

D(tg)= 

E(tg)=R

y=0 при 

y>0 при 

y<0 при 

возрастает на 

нечетная: tg(-x)=-tgx

периодическая: 

Функция котангенс:

D(ctg)= 

E(ctg)=R

y=0 при 

y>0 при 

y<0 при 

убывает на 

нечетная: ctg(-x)=-ctgx

периодическая: 

Решение простейших тригонометрических уравнений:

Пусть , тогда:

Некоторые частные случаи:

 

Табличные значения обратных тригонометрических функций:

 

Свойства обратных тригонометрический функций:

Это надо знать!

Равносильность уравнений:

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают (в том числе, уравнения, не имеющие решений, считаются равносильными). Обозначение:

 

Если все решения первого уравнения являются решениями вротого уравнения (множество решений первого уравнения является подмножеством решений второго уравнения), то второе уравнение называется следствием первого уравнения. Обозначение:

 

Таким образом, два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Теоремы о равносильности уравнений.

Справедливы следующие теоремы.

– Если любое выражение, входящее в уравнение, заменить тождественно равным ему на области определения уравнения выражением, то получим уравнение, равносильное данному.

– Если к обеим частям уравнения прибавить выражение, имеющее смысл на области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.

– Если любое слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

– Если обе части уравнения умножить (разделить) на выражение, имеющее смысл и отличное от нуля на области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.

Системы уравнений.

Систему двух уравнений с двумя неизвестными будем записывать в следующем виде:

Решением системы (1) называется пара чисел  при подстановке которых соответственно вместо x и y каждое уравнение системы (1) становиться верным числовым равенством, т. е.

Решить систему ― значит найти все её решения или показать, что их нет.

Равносильные системы уравнений.

Две системы уравнений

и

называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одни и те же решения, т. е. всякое решение системы (2) является решением системы (3) и, наоборот, всякое решение системы (3) является решением системы (2).

Из определения равносильности систем вытекает, что любые две системы, не имеющие решений (несовместные системы), равносильны.

Из определения равносильности систем следует также, что если в системе уравнений заменить любое из уравнений равносильным ему уравнением, то получим систему, равносильную исходной. В частности, система (1) равносильна следующей системе:

Таким образом, любая система двух уравнений с двумя неизвестными может быть записана в виде:

 

Систему уравнений

назовём следствием системы (1), если каждое решение системы (1) является решением системы (4). Аналогично, уравнение

есть следствие системы (1), если каждое решение системы (1) удовлетворяет уравнению (5).

Из определения равносильности и следствия непосредственно вытекает, что к системе можно присоединить любое уравнение, являющееся её следствием, и при этом множество решений системы не изменится. Иными словами, если уравнение (5) есть следствие системы (1), то система (1) равносильна системе трёх уравнений (1), (5).

Основные методы решения систем уравнений:

– метод приведения системы к совокупности более простых систем.

– метод подстановки.

– метод алгебраического сложения.

– метод замены неизвестных.

Замечание о решении систем уравнений.

При решении систем уравнений возможны два пути:

а) совершать только равносильные переходы. Тогда при каждом переходе множество решений будет сохранятся и в конечном итоге получается все решения исходной системы;

б) совершать переходы к следствию исходной системы. Тогда множество решений может расширятся за счёт появления посторонних решений, избавиться, от которых можно путём проверки.

Это надо знать!

Основные факты.

Пусть  ― функции от переменных x и y. Если требуется найти все такие упорядоченные наборы чисел  при каждом из которых выполнены равенства  то говорят, что задана система уравнений и пишут:

При этом упорядоченный набор значений переменных  называется решением системы (1). Решить систему ― значит найти все её решения.

Если требуется найти все такие упорядоченные наборы чисел  при каждом из которых выполнено хотя бы одно из равенств  то говорят, что задана совокупность уравнений и пишут:

Основной подход при решении систем уравнений состоит в следующем: за счёт алгебраических преобразований, введения новых переменных получить более простую систему уравнений (или уравнение), являющуюся равносильной системой (или следствием) исходной системы. Дальнейшие преобразования проводятся над полученной системой (или уравнением). Остановимся более подробно на равносильных системах и следствиях. Система

равносильна (эквивалентна) системе (1), если множества решений системы (3) и системы (1) совпадают. Другими словами, система (1) и система (3) равносильны, если любое решение системы (1) является решением системы (3), а любое решение системы (3) является решением системы (1) или же обе системы не имеют решения.

Говорят, что задана совокупность k систем двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными

где  ― заданные функции от переменных x и y, если требуется найти все пары чисел  каждая из которых является решением хотя бы одной из систем уравнений, входящих в (4). Каждая такая пара называется решением совокупности систем уравнений (4). Решить совокупность систем уравнений (4) ― это значит найти множество всех её решений. Система уравнений (1) равносильна совокупности (4), если совпадают множества их решений.

Утверждение о равносильности систем уравнений.

1. Если в системе уравнений (1) поменять местами уравнения, то получится система, равносильная системе (1).

2. Системы уравнений 

и

равносильны.

3. Системы уравнений

и

где a и b ― любые действительные числа, равносильны.

4. Система уравнений

и

где ― функции, определённые на множестве М (множество М может совпадать с областью допустимых значений x и y системы).

5. Системы уравнений

и

где  ― произвольные действительные числа, равносильны.

6. Системы уравнений

и

где  ― произвольные действительные числа, равносильны.

7. Система уравнений

 

заданная на множестве М, равносильна системе уравнений

где  ― функции, определённые на множестве М, причём  на множестве М.

8. Системы уравнений

 

и

где  ― произвольные действительные числа, равносильны.

9. Системы уравнений

 

и

 

рассматриваемые на множестве допустимых значений x и y, равносильны при 

10. Системы уравнений

 

и

 

где  ― произвольные действительные числа, равносильны.

11. Системы уравнений

 

и

 

где  ― произвольные действительные числа, равносильны.

12. Системы уравнений

 

и

 

где  ― произвольные действительные числа, равносильны.

13. Пусть функции  неотрицательны на некотором множестве М. Тогда на этом множестве системы уравнений

 

и

 

где  равносильны.

14. Пусть в системе уравнений (1) одно из уравнений записано в виде, где в левой части стоит одно из неравенств, например x в правой части ― функция относительно y. Тогда говорят, что неизвестное x выражено через неизвестное y. Если, например, неизвестное x может быть выражено из первого уравнения системы (1), то, подставив во второе уравнение вместо x эту функцию от y, получим систему, равносильную системе (1). Другими словами, равносильные следующие системы:

 

и

 

15. Если первое уравнение системы (1) равносильно совокупности k алгебраических уравнений

 

то система (1) равносильна совокупности k систем уравнений

 

Система (3) называется следствием системы (1), если каждое решение системы (3) является также и решением системы (1). В этом случае множество всех решений системы (1). Как правило, при решении систем переход от данной системы к её следствию происходит за счёт того, что одно из уравнений исходной системы заменяют его следствием.

Уравнение p(x,y)=0 называется следствием системы (1), если каждое решение системы (1) является решением уравнения p(x,y)=0.

Замечания о следствиях системы

1. Если следствие системы (1) не имеет решений, то система (1) не имеет решений.

2. Если решением следствия является упорядоченная пара то подстановкой в исходную систему проверяют, является ли она решением исходной системы.

3. Если система (3) является следствием системы (1), то система

равносильна системе (1).

4. Если уравнение p(x,y)=0 является следствием системы (1), то система

равносильна системе (1).

Определение. Число а  называется большим (меньшим) числа  b,  если разность a-b положительна (отрицательна).

Из определения следует, что любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля, поэтому вместо слов  «а — положительное (отрицательное) число» часто употребляется запись  «a>0 (a<0)».

Свойства числовых неравенств. Справедливы следующие свойства:

Если c>0 и a>b , то ac>bc. Если c<0 и a>b, ac<bc.

Если  ab>0,  то 

Модуль суммы взаимообратных чисел не меньше двух:  

Теоремы о знаках.

Напомним, что символом sgn x обозначается знак числа х. Пусть Тогда на области определения соответствующих функций справедливы следующие равенства:

Проиллюстрируем применение теорем о знаках. Решим неравенство

 

Запишем соотношения, задающие область определения логарифма и квадратного корня:  Отсюда

На этом множестве имеем:

ОДЗ

Методы сравнения чисел.

Решение систем или совокупностей неравенств приводит к задаче сравнения чисел. Проиллюстрируем основные используемые для этого идеи примерами.

1. Сравним два иррациональных числа:  и

Первое из чисел положительно, в второе отрицательно. Тем самым, первое больше.

2. Сравним числа  и

Увеличим каждое из чисел на сумму  тем самым, избавимся от минусов. Получим  числа одного знака, имеем право сравнивать их натуральные степени; учитывая то, что оба они положительны, не будем менять знак сравнения. Последовательно получаем:

Уменьшим теперь каждое из сравниваемых чисел на 13, а затем уменьшим каждое из полученных чисел в два раза:

Итак, выполнением ряда преобразований мы получили, что знак между исходными числами тот же, что и знак между числами  и  Поэтому поскольку , то есть первое число больше.

3. Сравним числа  и

Укажем более простую идею, нежели последовательное возведение в квадрат. Умножая и деля каждое из сравниваемых чисел на сопряженные к ним получаем

Из двух положительных дробей больше та, знаменатель которой меньше. Но каждое слагаемое знаменателя первой дроби больше соответствующего слагаемого знаменателя второй дроби, откуда ясно, что первое число больше. Задача решена.

4. Сравним числа:  и

Идея метода такова: если показать, что одно из сравниваемых чисел больше некоторого подобранного числа, а другое наоборот больше него, то в силу свойства транзитивности неравенств второе число больше первого.

Заметим, что оба числа заданных больше единицы, но меньше двух. Будем подбирать число, которое было бы больше одного из них, но меньше другого. Возьмем, например,  и сравним с ним каждое из заданных чисел.

Имеем:

, так как

, так как

Таким образом

5. Сравним числа  и

Используем ту же идею. Вместо того, чтобы сравнивать заданные числа друг с другом, сравним каждое из них с числом . Ясно, что , в то же время , а . Таким образом

6. Сравним  и

Удобной возможностью сравнивать числа является изучение знака их разности, либо их разности с одним и тем же числом.

Рассмотрим разность заданных чисел:

В силу справедливости неравенств

получаем, что

тогда , значит,

7. Сравним  и

Оба заданных числа близки к единице. Вычитая 1 из каждого из них,  получим числа близкие к нулю, которые более удобны для сравнения:

Замечая, что

получаем, что первое число больше.