Тема 15. Неравенства
-
Решим предложенное неравенство методом интервалов; для этого разложим числитель и знаменатель на множители:Отмечаем на координатной прямой нули числителя (жирной точкой, они должны входить в ответ) и знаменателя (выколотой точкой, они в ответ не входят), расставляем знаки.Ответ:
-
Имеем иррациональное неравенство; для его решения возведём обе части в квадрат, помня о том, что подкоренное выражение должно быть больше нуля:В последнем преобразовании мы заметили, что нижнее условие выполняется всегда (квадрат любого числа неотрицателен).Ответ:
-
Наша основная задача в показательном неравенстве - сделать все основания степени одинаковыми. Для этого заметим, что
а
. Таким образом, общим основанием удобно взять 8. Согласно тождествам
(оба тождества - частные случаи общего:) имеем:
(в этом переходе используем монотонность степенной функции)Ответ: -
Имеем рациональное неравенство относительно
. Преобразуем:
Решая методом интервалов, получаем ответ по y:Возвращаясь к переменной x, получаем:(ограничение снизу в первом неравенстве после первого преобразования возникает из-за того, что логарифм определён только для чисел, строго больших нуля)Ответ: -
Задание 1 Логарифмические неравенства с переменным основанием
Решите неравенство
Разбор задания СвернутьПрежде всего, выведем вкратце свойство, которым мы будем пользоваться. Пусть у нас есть неравенство видаОно выполняется в случае, если
или, еслиНетрудно заметить, что эта система условий эквивалентна следующей:Выведенный результат называется "теоремой о знаке логарифма". Пользуясь им, преобразуем исходное неравенство:Ответ: -
Решим предложенное неравенство методом интервалов; для этого приведём выражение к дроби с общим знаменателем, а потом разложим числитель и знаменатель на множители:Отмечаем на координатной прямой нули числителя (жирной точкой, они должны входить в ответ) и знаменателя (выколотой точкой, они в ответ не входят), расставляем знаки. Нас интересуют области с отрицательным знаком.Ответ:
-
Для иррационального неравенства всегда первым делом выписываем ОДЗ:
Отметим сразу, что нам подходит
; в случае, если
, имеем
, а, следовательно, на этот член можно поделить обе части неравенства. Итак, полная система условий:
Упрощая, получаем ответ.Ответ: -
Наша основная задача в показательном неравенстве - сделать все основания степени одинаковыми. Для этого заметим, что
Таким образом, общим основанием удобно взять 2.
Имеем:(в этом переходе используем монотонность степенной функции)Ответ: -
Используем замену переменных
тогда имеем:
Возвращаясь к переменной x, получаем:(ограничение снизу в первом неравенстве после первого преобразования возникает из-за того, что логарифм определён только для чисел, строго больших нуля)(Обратите внимание на правильную расстановку знаков строгого и нестрого неравенств ("наследуемого" из двойных неравенств), а также на расстановку концов интервала;и поэтому
)
Ответ: -
Если мы обозначим всё заключённое в скобочки выражение за y, то исходное неравенство преобразуется к виду
Вернёмся к переменной x и запишем двойное неравенство в виде системы неравенств:
(приводим к общему знаменателю и умножаем на 2 левую и правую часть неравенства)(выполняем преобразования, доводим до вида "дробь сравнивается с нулём")Решаем по отдельности каждое неравенство методом интервалов. Отмечаем на координатной прямой нули числителя (жирной точкой, они должны входить в ответ) и знаменателя (выколотой точкой, они в ответ не входят), расставляем знаки. В первом неравенстве имеем решение, во втором
. Пересечением этих двух решений (надо брать пересечение, так как у нас система) является объединение отрезков
.
Ответ: -
Выпишем и запомним ОДЗ:Для решения этой задачи пригодится приём, который называется "домножение на сопряжённое выражение": домножим числитель и знаменатель дроби наМы можем домножать числитель и знаменатель любой дроби на любое выражение, не равное нулю. Так как мы домножаем на сумму корней (оба неотрицательны), это выражение может быть равно 0 только лишь в случае:Рассмотрев отдельно случай
убеждаемся, что он подходит.
Произведём умножение числителя и знаменателя. Тогда в числителе, по формуле разности квадратов (ради которой всё и заводилось) получим (в области допустимых значений):Итоговый набор условий:(здесь крайне важное сокращение: мы замечаем, что при условии соблюдения ОДЗ и- этот случай мы учли отдельно - мы имеем
следовательно, на него можно домножить неравенство, не меняя знак).
Мы свели иррациональное неравенство к набору рациональных. Дальнейшее просто: выделяем корни числителя и знаменателя, решаем методом интервалов или устно:Ответ: -
Здесь удобно произвести заменутак какПри данной замене имеем:Возвращаясь обратно к переменной x:Ответ:
-
Нам бы хотелось приравнять показатели логарифмов. Воспользуемся тем, что
и преобразуем:
(далее пользуемся монотонным возрастанием логарифма и сводим неравенство к рациональному; не забываем про ОДЗ)(в первом преобразовании мы отбросили второе условие, так как сумма квадрата и положительного числа всегда является положительным, то есть это условие выполняется всегда).Решаем каждое неравенство методом интервалов; нас интересует пересечение решений. ПолучаемОтвет: -
Решим предложенное неравенство методом интервалов; для этого приведём выражение к дроби с общим знаменателем, а потом разложим числитель и знаменатель на множители:(мы не умеем решать уравнения третьей степени, поэтому сразу же разложили на множители числитель левой дроби; это дало результат и мы смогли вынести
)
Отмечаем на координатной прямой нули числителя (жирной точкой, они должны входить в ответ) и знаменателя (выколотой точкой, они в ответ не входят). Заметим, что кореньвходит и в корни числителя, и в корни знаменателя. Мы должны его отметить выколотой точкой, так как выражение
не имеет смысла. Далее расставляем знаки. Обратите внимание, что при переходе через 1 знак всей дроби не меняется. Нас интересуют области с отрицательным знаком.
Ответ: -
Очевидно, чтоВыберем новую переменную
тогда исходное неравенство преобразуется следующим образом:
принеравенство выполняется для
Возвращаясь к переменной x, имеем:Ответ: -
Нам предстоит преобразовывать выражения с логарифмами, поэтому сначала найдём ОДЗ:Решаем каждое неравенство методов интервалов; нас интересует пересечение множеств, поэтому ОДЗ:Преобразуем исходное неравенство при условии, что x из ОДЗ:(далее сокращаем степень до второй, пользуясь тождеством(далее пользуемся монотонным возрастанием логарифма и сводим неравенство к рациональному)Пересекая решение неравенства с полученным ранее ОДЗ, получаемОтвет:
-
Здесь встречаются три различных показателя, и привести всё к одному показателю не получится. Заметим вместо этого, что выражение слева можно разложить на множители:
Согласно этим преобразованиям имеем:Ответ: -
Здесь встречаются три различных показателя, и привести всё к одному показателю не получится. Заметим вместо этого, что выражение слева можно разложить на множители:
Согласно этим преобразованиям имеем:Ответ: -
Нам предстоит преобразовывать выражения с логарифмами, поэтому сначала найдём ОДЗ:Преобразуем исходное неравенство при условии, что x из ОДЗ:(далее пользуемся монотонным возрастанием логарифма и сводим неравенство к рациональному)Пересекая решение неравенства с полученным ранее ОДЗ, получаемОтвет: