Тема 15. Неравенства

Решим предложенное неравенство методом интервалов; для этого разложим числитель и знаменатель на множители:

 

Отмечаем на координатной прямой нули числителя (жирной точкой, они должны входить в ответ) и знаменателя (выколотой точкой, они в ответ не входят), расставляем знаки.

Имеем иррациональное неравенство; для его решения возведём обе части в квадрат, помня о том, что подкоренное выражение должно быть больше нуля:

 

 В последнем преобразовании мы заметили, что нижнее условие выполняется всегда (квадрат любого числа неотрицателен).

Наша основная задача в показательном неравенстве - сделать все основания степени одинаковыми. Для этого заметим, что  а . Таким образом, общим основанием удобно взять 8. Согласно тождествам

(оба тождества - частные случаи общего: ) имеем:

(в этом переходе используем монотонность степенной функции)

 Имеем рациональное неравенство относительно . Преобразуем:

Решая методом интервалов, получаем ответ по y: 

Возвращаясь к переменной x, получаем: 

(ограничение снизу в первом неравенстве после первого преобразования возникает из-за того, что логарифм определён только для чисел, строго больших нуля)

 

 Прежде всего, выведем вкратце свойство, которым мы будем пользоваться. Пусть у нас есть неравенство вида  Оно выполняется в случае, если

 

 или, если

 Нетрудно заметить, что эта система условий эквивалентна следующей:

 Выведенный результат называется "теоремой о знаке логарифма". Пользуясь им, преобразуем исходное неравенство:

 

Решим предложенное неравенство методом интервалов; для этого приведём выражение к дроби с общим знаменателем, а потом разложим числитель и знаменатель на множители:

 

 

Отмечаем на координатной прямой нули числителя (жирной точкой, они должны входить в ответ) и знаменателя (выколотой точкой, они в ответ не входят), расставляем знаки. Нас интересуют области с отрицательным знаком.

Для иррационального неравенства всегда первым делом выписываем ОДЗ:  Отметим сразу, что нам подходит ; в случае, если , имеем , а, следовательно, на этот член можно поделить обе части неравенства. Итак, полная система условий:  

 

 Упрощая, получаем ответ.

Наша основная задача в показательном неравенстве - сделать все основания степени одинаковыми. Для этого заметим, что Таким образом, общим основанием удобно взять 2.

 Имеем:

(в этом переходе используем монотонность степенной функции)

 Используем замену переменных  тогда имеем:

Возвращаясь к переменной x, получаем: 

(ограничение снизу в первом неравенстве после первого преобразования возникает из-за того, что логарифм определён только для чисел, строго больших нуля)

(Обратите внимание на правильную расстановку знаков строгого и нестрого неравенств ("наследуемого" из двойных неравенств), а также на расстановку концов интервала; и поэтому)

 

Если мы обозначим всё заключённое в скобочки выражение за y, то исходное неравенство преобразуется к виду  Вернёмся к переменной x и запишем двойное неравенство в виде системы неравенств:

  

(приводим к общему знаменателю и умножаем на 2 левую и правую часть неравенства)

(выполняем преобразования, доводим до вида "дробь сравнивается с нулём")

 

 Решаем по отдельности каждое неравенство методом интервалов. Отмечаем на координатной прямой нули числителя (жирной точкой, они должны входить в ответ) и знаменателя (выколотой точкой, они в ответ не входят), расставляем знаки. В первом неравенстве имеем решение , во втором . Пересечением этих двух решений (надо брать пересечение, так как у нас система) является объединение отрезков . 

Выпишем и запомним ОДЗ:

 Для решения этой задачи пригодится приём, который называется "домножение на сопряжённое выражение": домножим числитель и знаменатель дроби на 

 Мы можем домножать числитель и знаменатель любой дроби на любое выражение, не равное нулю. Так как мы домножаем на сумму корней (оба неотрицательны), это выражение может быть равно 0 только лишь в случае:

Рассмотрев отдельно случай  убеждаемся, что он подходит. 

 Произведём умножение числителя и знаменателя. Тогда в числителе, по формуле разности квадратов (ради которой всё и заводилось) получим (в области допустимых значений): 

Итоговый набор условий:

(здесь крайне важное сокращение: мы замечаем, что при условии соблюдения ОДЗ и  - этот случай мы учли отдельно - мы имеем  следовательно, на него можно домножить неравенство, не меняя знак). 

 Мы свели иррациональное неравенство к набору рациональных. Дальнейшее просто: выделяем корни числителя и знаменателя, решаем методом интервалов или устно: 

 

Здесь удобно произвести замену 

 так как 

При данной замене имеем:

Возвращаясь обратно к переменной x:

 Нам бы хотелось приравнять показатели логарифмов. Воспользуемся тем, что и преобразуем:

(далее пользуемся монотонным возрастанием логарифма и сводим неравенство к рациональному; не забываем про ОДЗ)

(в первом преобразовании мы отбросили второе условие, так как сумма квадрата и положительного числа всегда является положительным, то есть это условие выполняется всегда).

 Решаем каждое неравенство методом интервалов; нас интересует пересечение решений. Получаем

 

Решим предложенное неравенство методом интервалов; для этого приведём выражение к дроби с общим знаменателем, а потом разложим числитель и знаменатель на множители:

 

(мы не умеем решать уравнения третьей степени, поэтому сразу же разложили на множители числитель левой дроби; это дало результат и мы смогли вынести )

 

Отмечаем на координатной прямой нули числителя (жирной точкой, они должны входить в ответ) и знаменателя (выколотой точкой, они в ответ не входят). Заметим, что корень  входит и в корни числителя, и в корни знаменателя. Мы должны его отметить выколотой точкой, так как выражение  не имеет смысла. Далее расставляем знаки. Обратите внимание, что при переходе через 1 знак всей дроби не меняется. Нас интересуют области с отрицательным знаком.

Очевидно, что

 Выберем новую переменную тогда исходное неравенство преобразуется следующим образом:

при  неравенство выполняется для

Возвращаясь к переменной x, имеем:

 Нам предстоит преобразовывать выражения с логарифмами, поэтому сначала найдём ОДЗ:

 Решаем каждое неравенство методов интервалов; нас интересует пересечение множеств, поэтому ОДЗ:

Преобразуем исходное неравенство при условии, что x из ОДЗ:

(далее сокращаем степень до второй, пользуясь тождеством

(далее пользуемся монотонным возрастанием логарифма и сводим неравенство к рациональному)

Пересекая решение неравенства с полученным ранее ОДЗ, получаем

 

Здесь встречаются три различных показателя, и привести всё к одному показателю не получится. Заметим вместо этого, что выражение слева можно разложить на множители: 

 
 Согласно этим преобразованиям имеем:

Здесь встречаются три различных показателя, и привести всё к одному показателю не получится. Заметим вместо этого, что выражение слева можно разложить на множители: 

 
 Согласно этим преобразованиям имеем:

 Нам предстоит преобразовывать выражения с логарифмами, поэтому сначала найдём ОДЗ:

 Преобразуем исходное неравенство при условии, что x из ОДЗ:

(далее пользуемся монотонным возрастанием логарифма и сводим неравенство к рациональному)

Пересекая решение неравенства с полученным ранее ОДЗ, получаем