Тема 9. Вычисления и преобразования
-
Это надо знать!
Сложение и вычитание дробей. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. Чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений. Чтобы сложить или вычесть две дроби с разными знаменателями, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю.
Умножение дробей. Чтобы умножить две дроби, надо перемножить их числители, перемножить их знаменатели и разделить первое произведение на второе.
Деление дробей. Чтобы разделить дробь на дробь, надо умножить первую дробь на дробь, обратную второй.
Возведение дроби в степень. Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и разделить степень числителя на степень знаменателя.
Формулы сокращенного умножения:
Степень. Пусть дано положительное число а и произвольное действительное число n. Число
называется степенью, число а — основанием степени, число n — показателем степени.Напомним, что по определению полагают:
Cтепень с дробным показателем. Если a — положительное число, m — целое число, а n — натуральное число и
то
В частности, например,
Свойства степени. Если a и b — положительные числа, x и y — любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:
Арифметический корень. Пусть n — натуральное число, отличное от единицы, а — неотрицательное число. Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-я степень которого равна а.
Для арифметического корня n-й степени из неотрицательного числа а используется обозначение
Если n=2, пишут
По определению 
Для любых, в том числе отрицательных, значений а справедлива формула
в частности,
Свойства арифметического корня. Если a и b — неотрицательные числа, n и k — натуральные числа, отличные от единицы, m — целое число, то имеют место следующие соотношения:
Степень с дробным показателем. Если a — положительное число, m — целое число, а n — натуральноечисло и
то
Определение логарифма. Логарифмом положительного числа b по основанию а (
называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b. Для логарифма положительного числа b по основанию а ( используется обозначение 
По определению
это равенство называется основным логарифмическим тождеством.
Частные случаи:
Логарифм положительного числа b по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается
Логарифм положительного числа b по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначается
Свойства логарифмов. Если
— любое действительное число, то справедливы следующие свойства:
Основные тригонометрические формулы:
Правило для запоминания формул приведения. Чтобы записать формулу приведения для аргументов
необходимо:1) определить четверть, в которой лежит аргумент приводимой функции, предполагая
острым углом;2) определить знак приводимой функции в этой четверти;
3) определить вид функции, не меняя ее названия для аргументов
и изменяя функцию на сходственную для аргументов 
А именно:
Свойства четности и нечетности функций:
Табличные значения тригонометрических функций:
Особенности экзаменационных заданий
Задания на действия с числовыми и алгебраическими дробями вполне привычны из курса математики 5—6 классов и алгебры 7 класса. Напомним только, что при выполнении действий с числовыми дробями разных типов, а также при извлечении корня обычно бывает удобно переводить десятичные дроби в обыкновенные, а смешанные — в неправильные.
При решении многих задач ЕГЭ необходимо установить связь между различными основаниями степени, поэтому будет полезно знать некоторые степени чисел в пределах 1000:
Большая часть экзаменационных заданий на преобразования логарифмических выражений представляет собой задачи на вычисление логарифмов; задания на преобразования буквенных логарифмических выражений представлены всего тремя прототипами. При подготовке следует обратить особое внимание на формулу перехода к новому основанию логарифма и следствия из нее: задачи на использование этих формул в школьных учебниках практически не встречаются.
Большая часть заданий по тригонометрии представляет собой задачи на вычисление значений числовых тригонометрических выражений с применением формул двойных углов и формул приведения. При этом наиболее часто используются следующие следствия из формул приведения: если
то 
а если 
то синусы углов и 
равны, а их косинусы, тангенсы и котангенсы противоположны.