www.abcege.ru - Разбор заданий

Задание 1 Преобразования алгебраических выражений и дробей

Найдите $\text{[math]}$ если $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Разделим числитель и знаменатель условия на b. Тогда получим: $\text{[math]}$

Обозначим: $\text{[math]}$ и решим полученное уравнение относительно x.

$\text{[math]}$

Таким образом, x=1.

Ответ: 1.

Задание 1 Преобразования числовых иррациональных выражений

Найдите значение выражения $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Используя свойства квадратного корня ( $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ ) находим:

$\text{[math]}$

Домножим числитель и знаменатель дроби на 100, чтобы убрать знаки после запятой, и продолжим вычисления:

$\text{[math]}$

Ответ: 7.

Задание 1 Преобразования буквенных иррациональных выражений

Найдите значение выражения $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Заметим, что $\text{[math]}$ (формула сокращённого умножения). Это позволяет нам извлечь квадратный корень:

$\text{[math]}$

(последнее равенство возникло из-за тождества $\text{[math]}$ для любого a).

По определению модуля, при $\text{[math]}$ он раскрывается с минусом, то есть в условиях нашей задачи $\text{[math]}$ Пользуясь этим, можно продолжить цепочку преобразований:

$\text{[math]}$

Ответ: 2.

Задание 1 Вычисление значений степенных выражений

Найдите значение выражения $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Воспользуемся свойствами степени:

$\text{[math]}$

и преобразуем выражение:

$\text{[math]}$

В первом равенстве мы воспользовались свойством (1), во втором - свойством (2).

Ответ: 1,5.

Задание 1 Действия со степенями

Найдите значение выражения $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Воспользуемся свойствами степени:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ (оба выполняются при a>0).

Упростим выражение:

$\text{[math]}$

Подставляя данное нам значение $\text{[math]}$ получаем, что искомое выражение равно $\text{[math]}$

Ответ: 3,5.

Задание 1 Преобразования логарифмических выражений

Найдите значение выражения $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Воспользуемся формулой смены основания логарифма

$\text{[math]}$ и выполним преобразования:

$\text{[math]}$

Ответ: 2.

Задание 1 Преобразования тригонометрических выражений

Найдите $\text{[math]}$ если $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Нам дан синус угла, требуется найти косинус двойного (умноженный на коэффициент). Нам понадобится формула перехода к двойному углу; удобнее всего воспользоваться формулой косинуса двойного угла, зависящей только от синуса: $\text{[math]}$ По ней имеем:

$\text{[math]}$

Ответ: 22,08.

Задание 2 Преобразования алгебраических выражений и дробей

Найдите $\text{[math]}$ если $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Преобразуем условие:

$\text{[math]}$

Подставим выражение для a в выражение, которое нам надо найти:

$\text{[math]}$

Таким образом, мы нашли ответ: искомое выражение равно 2.

Ответ: 2.

Задание 2 Преобразования числовых иррациональных выражений

Найдите значение выражения $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Вспомним, что $\text{[math]}$ для любого a>0 и любого n. Пользуясь этим, а также свойством степени ( $\text{[math]}$ ) преобразуем:

$\text{[math]}$

Ответ: 1.

Задание 2 Преобразования буквенных иррациональных выражений

Найдите значение выражения $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$ .

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Используя тождество $\text{[math]}$ избавимся от квадратных корней в искомом выражении:

$\text{[math]}$

По определению модуля,

$\text{[math]}$
и, аналогично,

$\text{[math]}$

В условиях нашей задачи, первый модуль раскроется с плюсом, а второй - с минусом. Пользуясь этим, продолжим преобразования:

$\text{[math]}$

Ответ: 12.

Задание 2 Вычисление значений степенных выражений

Найдите значение выражения $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Вспомним, что $\text{[math]}$ для любого положительного a и любого n. Пользуясь этим, а также свойствами степени:

$\text{[math]}$

преобразуем:

$\text{[math]}$

Ответ: 2.

Задание 2 Действия со степенями

Найдите значение выражения $\text{[math]}$ при a=14.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Воспользуемся свойством степени:

$\text{[math]}$

и приведём выражение к одинаковому показателю степени:

$\text{[math]}$

Подставляя a=14, получаем, что $\text{[math]}$

Ответ: 196.

Задание 2 Преобразования логарифмических выражений

Найдите значение выражения $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Воспользуемся свойством логарифма с одинаковым основанием

$\text{[math]}$ и выполним преобразования:

$\text{[math]}$

Ответ: 2.

Задание 2 Преобразования тригонометрических выражений

Найдите значение выражения $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Заметим, что $\text{[math]}$ Это подсказывает нам воспользоваться формулой приведения: $\text{[math]}$

С её помощью получаем:

$\text{[math]}$

Ответ: 5.

Задание 3 Преобразования алгебраических выражений и дробей

Найдите $\text{[math]}$ если $\text{[math]}$ При условии, что $\text{[math]}$ .

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Запись $\text{[math]}$ обозначает, что мы берём выражение p(b) и везде вместо b пишем $\text{[math]}$ Найдём $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

(в первом равенстве мы подставили $\text{[math]}$ во втором упростили получившееся выражение и убрали многоэтажные дроби; в третьем переставили слагаемые и сомножители местами). Заметим, что

$\text{[math]}$

Отсюда их отношение равно 1.

Ответ: 1.

Задание 3 Преобразования буквенных иррациональных выражений

Найдите $\text{[math]}$ если $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Запись h(3+x) обозначает, что мы берём выражение h(x) и везде вместо x пишем 3+x. Аналогично с 3-x. Подставим аргументы в формулу для h(x):

$\text{[math]}$

(в последнем равенстве мы воспользовались тождеством для корней нечётной степени: $\text{[math]}$ для нечётного n и любого a).

Складывая эти 2 выражения, получаем:

$\text{[math]}$

Ответ: 0.

Задание 3 Преобразования логарифмических выражений

Найдите значения выражения $\text{[math]}$ если $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Воспользуемся свойствами логарифма:

$\text{[math]}$

Преобразуем выражение:

$\text{[math]}$

В этой цепочке равенств первое получается по свойству (1), второе - по свойству (2), а третье - по (3).

Теперь мы можем подставить значение для $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Ответ: 12.

Задание 3 Преобразования тригонометрических выражений

Найдите значение выражения $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Мы умеем непосредственно находить только тригонометрические функции от табличных углов (0, 30, 45, 60, 90). Упростим число, стоящее под знаком косинуса. Для этого, во-первых, вспомним, что $\cos (- \alpha) = \cos \alpha$, во-вторых, заметим, что тригонометрические функции не изменяются, если к их аргументу прибавить\отнять $\text{[math]}$ Пользуясь этим, преобразуем:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ является табличным углом и равен $\text{[math]}$ Пользуясь этим, продолжим цепочку равенств:

$\text{[math]}$

Ответ: -6.

Задание 4 Преобразования алгебраических выражений и дробей

Найти значение выражения $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Для начала произведём вычитание дробей во втором сомножителе. Общий знаменатель двух дробей. $\text{[math]}$ Тогда первую дробь нужно домножить на 5a - 4, а вторую - на 5a +4.

Кроме того, заметим, что $\text{[math]}$ (формула сокращённого умножения). Пользуясь этим, преобразуем:

$\text{[math]}$

Ответ: -8.

Задание 4 Преобразования буквенных иррациональных выражений

Найдите значение выражения $\text{[math]}$ при x=3.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Перед подстановкой упростим буквенное выражение. Для этого требуется произвести вычитание дробей со знаменателями $\text{[math]}$ и x. Заметим, что для приведения к общему знаменателю достаточно домножить первую дробь на $\text{[math]}$ (так как $\text{[math]}$ при x>0). Пользуясь этим, преобразуем:

$\text{[math]}$

Подставляя данное нам x=3, окончательно получаем 7-3 = 4. Это и есть ответ.

Ответ: 4.

Задание 4 Преобразования тригонометрических выражений

Найдите значение выражения $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Заметим, что $\text{[math]}$ следовательно, можно воспользоваться формулой приведения для тангенса: $\text{[math]}$

С её помощью выполним преобразования:

$\text{[math]}$

Ответ: -5.

Задание 5 Преобразования алгебраических выражений и дробей

Найдите значение выражения $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

По формуле сокращённого умножения, $\text{[math]}$ а $\text{[math]}$ Пользуясь этим, выполним преобразования:

$\text{[math]}$

Ответ: -20.

Задание 5 Преобразования тригонометрических выражений

Найдите значение выражения $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Воспользуемся периодичностью функции $\text{[math]}$ Благодаря ней $\text{[math]}$ Преобразуем:

$\text{[math]}$

Ответ: 14.

Задание 6 Преобразования тригонометрических выражений

Найдите значение выражения $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Заметим, что $\text{[math]}$ Это подсказывает нам использоваться формулу приведения с переходом через $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Пользуясь ей, преобразовываем:

$\text{[math]}$

Последнее равенство получено благодаря основному тригонометрическому тождеству: $\text{[math]}$

Ответ: 6.

Задание 7 Преобразования тригонометрических выражений

Найдите $\text{[math]}$ если $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Угол в радианах $\text{[math]}$ соответствует углу в $\text{[math]}$ а угол в $\text{[math]}$ соответствует углу в $\text{[math]}$ Таким образом, угол $\text{[math]}$ расположен в четвёртой четверти, значит, его косинус положителен, следовательно, $\text{[math]}$ (основное тригонометрическое тождество). Воспользовавшись этой формулой и условием, вычислим требуемое:

$\text{[math]}$

Ответ: 1.

Задание 8 Преобразования тригонометрических выражений

Найдите $\text{[math]}$ если $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Угол в радианах $\text{[math]}$ соответствует $\text{[math]}$ а угол $\text{[math]}$ соответствует $\text{[math]}$ Следовательно, угол $\text{[math]}$ лежит во второй четверти, его тангенс (и котангенс) отрицательны.

Для вычисления искомой функции сначала выразим котангенс одного угла через синус (формула при отрицательном котангенсе выглядит так: $\text{[math]}$ а потом тангенс через котангенс (по формуле $\text{[math]}$ Вычисляем:

$\text{[math]}$

И далее:

$\text{[math]}$

Ответ: -0,2.

Задание 9 Преобразования тригонометрических выражений

Найдите значение выражения $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Воспользуемся формула приведения для разных случаев:

$\text{[math]}$

(мы последовательно воспользовались периодичностью синуса, прибавив к аргументу $\text{[math]}$ сменой знака синуса при изменении знака аргумента и формулой приведения для угла $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

(неизменность косинуса при смене знака аргумента; формула приведения для угла $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

(мы уже получили этот результат ранее).

Отсюда, подводя итоги, можно преобразовать выражение:

$\text{[math]}$

Ответ: 0,6.

Тема 9. Вычисления и преобразования

Доступ к этому разделу пока ограничен

Есть два варианта, как поступить: