Тема 14. Углы и расстояния в пространстве

Искомый многогранник удобно рассматривать как пирамиду с основанием  и вершиной в точке С (так как четыре указанные точки лежат на одной грани, следовательно, в одной плоскости). Следовательно, по формуле объёма пирамиды, нам надо найти площадь основания и высоту. Пусть CM — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC. Тогда  по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мой и плос­ко­сти ( по построению, а, так как в пра­виль­ной приз­ме  то, зна­чит, и ). Таким образом, CM - высота пирамиды и имеет место равенство   Основание представляет из себя прямоугольную трапецию; её пло­щадь равна

Ответ: 

Нуж­ное се­че­ние — тре­уголь­ник AMB.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник ASC. Он рав­но­бед­рен­ный, и Зна­чит,

Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник CAM. Сумма его углов , зна­чит, Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник CAM рав­но­бед­рен­ный, и по­это­му AC=AM. Ана­ло­гич­но на­хо­дим, что BM=BC.

Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник AMB рав­но­сто­рон­ний, и его сто­ро­на AB од­но­вре­мен­но яв­ля­ет­ся сто­ро­ной ос­но­ва­ния. По усло­вию со­ста­вим урав­не­ние от­ку­да AB = 10.

Ответ: 

Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 144 − 108 = 36, по­это­му AB = 6 (в основании квадрат). Пло­щадь бо­ко­вой грани равна  Пусть SM — вы­со­та грани SAB. Тогда  по­это­му SM = 9. Пусть SH — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Имеем

Тогда

Ответ: 

Так как пря­мая  пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой  па­рал­лель­ной пря­мой  и лежит в плос­ко­сти , па­рал­лель­ной , то рас­сто­я­ние между пря­мы­ми  и  равно рас­сто­я­нию от пря­мой  до плос­ко­сти .

Пусть АК — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC. АК пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти  , так как пер­пен­ди­ку­ляр­на двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым ( и ), ле­жа­щим в плос­ко­сти . Таким об­ра­зом, ис­ко­мое рас­сто­я­ние — длина от­рез­ка АК. Это высота в равностороннем треугольнике , и она равна .

Ответ: 

Пусть Q — се­ре­ди­на ребра CD; P — се­ре­ди­на ребра BD. По тео­ре­ме о сред­ней линии тре­уголь­ни­ка сле­до­ва­тель­но, точки M, T, P, Q лежат в одной плос­ко­сти.

 Далее,  сле­до­ва­тель­но, точки M, T, P, Q яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Кроме того,  а по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах, так как по­лу­чим  по­это­му этот па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник. Зна­чит, ис­ко­мое рас­сто­я­ние есть длина от­рез­ка PT. Проведём высоту DO, тогда точка O есть точка пересечения диагоналей квадрата, следовательно, от­ре­зок AO равен

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра 

Ответ: 

В тре­уголь­ни­ке про­ведём вы­со­ты и Ис­ко­мое рас­сто­я­ние — длина от­рез­ка Ясно, что,  (и то, и то - удвоенная площадь треугольника SAC), от­ку­да  Тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, Тогда

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 

Обо­зна­чим се­ре­ди­ну ребра Так как тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний, а тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный, от­рез­ки и пер­пен­ди­ку­ляр­ны  Сле­до­ва­тель­но, — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла с гра­ня­ми и  Из тре­уголь­ни­ка най­дем В тре­уголь­ни­ке най­дем вы­со­ту

Из тре­уголь­ни­ка най­дем:

Ис­ко­мый угол равен

Ответ: 

Про­ведём из точки B пер­пен­ди­ку­ляр BQ к MK, Q — се­ре­ди­на MK. Точка Q яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной вы­со­ты SO. Пря­мая MK па­рал­лель­на пря­мой пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей, ,  (так как OB перпендикулярна параллельной MK прямой AC). Сле­до­ва­тель­но,  — ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го угла. Найдём стороны прямоугольного треугольника QBO.

Зна­чит,

Ответ: 

По­стро­им се­че­ние приз­мы плос­ко­стью . По­лу­чим па­рал­ле­ло­грамм . Из точки D про­ведём пер­пен­ди­ку­ляр DH к пря­мой AB. Тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах . Плос­кий угол  — ис­ко­мый. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 

Пусть от­ре­зок  — вы­со­та пи­ра­ми­ды  От­ре­зок  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка (см. ри­су­нок).

По­сколь­ку  — пра­виль­ная пи­ра­ми­да, точка  — центр квад­ра­та зна­чит, и от­ку­да  (по определению прямой, перпендикулярной плоскости). Но  сле­до­ва­тель­но, Таким об­ра­зом, пря­мая  — про­ек­ция пря­мой на плос­кость зна­чит, угол между пря­мой и плос­ко­стью равен углу между пря­мой и пря­мой то есть остро­му углу пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

При­мем длину ребра дан­ной пи­ра­ми­ды за тогда ме­ди­а­на рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка  (медиана в прямоугольном равнобедренном треугольнике),  (средняя линии в треугольнике ) и, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 

Сведём угол между скрещивающимися прямыми к плоскому углу. Пусть  пря­мая, па­рал­лель­ная пря­мой  и  точка ее пе­ре­се­че­ния с . Тогда ис­ко­мый угол между пря­мы­ми  и  равен углу . Обо­зна­чим угол  бук­вой .  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка  (так как проведена прямая, параллельная стороне треугольника, из середины), по­это­му:

Составим уравнение на  для этого вы­ра­зим квад­рат от­рез­ка  по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ках  и : 

По­дставляем известные ранее данные, а также замечаем, что  (высота в равностороннем треугольнике с единичной стороной) и  по­лу­чим:

Решая линейное уравнение на  получаем 

Ответ: 

Сведём угол между скрещивающимися прямыми к плоскому углу. Пря­мая AD па­рал­лель­на пря­мой BC. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол равен углу SBC. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке SBC про­ведём ме­ди­а­ну и вы­со­ту SM. Имеем:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SBM по­лу­ча­ем: 

Ответ: 

Осе­вым се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC бо­ко­вые сто­ро­ны ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся об­ра­зу­ю­щи­ми ко­ну­са, а ос­но­ва­ни­ем — его диа­метр, и впи­сан­ная в тре­уголь­ник окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой равен ра­ди­у­су шара (см. рис.).

 Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть O — центр впи­сан­ной окруж­но­сти, от­ре­зок CO — бис­сек­три­са угла ACB и пусть  имеем:

Тогда  Для пло­ща­дей по­верх­но­стей ко­ну­са и шара имеем: Тем самым, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно или 8:3.

Пусть MH — вы­со­та пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды MABCD с вер­ши­ной M, тогда тре­уголь­ник AMH — пря­мо­уголь­ный,  от­ку­да

Тре­уголь­ник ABH — пря­мо­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, В тре­уголь­ни­ке AMB вы­со­та

В рав­но­бед­рен­ном пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH вы­со­та  (формула работает для медианы в прямоугольном треугольнике, но в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, совпадает с медианой).

Центр O сферы, впи­сан­ной в пра­виль­ную четырёхуголь­ную пи­ра­ми­ду, лежит на её вы­со­те MH, точка K ка­са­ния сферы и бо­ко­вой грани AMB лежит на от­рез­ке MN. Тре­уголь­ни­ки MOK и MNH по­доб­ны, по­это­му

где r — ра­ди­ус сферы.

Пло­щадь сферы

Пусть MH — вы­со­та пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды MABCDEF с вер­ши­ной M, тогда тре­уголь­ник AMH пря­мо­уголь­ный, MA=10, MH=6 от­ку­да

Тре­уголь­ник ABH рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, AB=AH=8. В тре­уголь­ни­ке AMB вы­со­та

В пра­виль­ном тре­уголь­ни­ке AHB вы­со­та

Центр O сферы, впи­сан­ной в пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пи­ра­ми­ду, лежит на её вы­со­те MH, точка K ка­са­ния сферы и бо­ко­вой грани AMB лежит на от­рез­ке MN. Тре­уголь­ни­ки MOK и MNH по­доб­ны, по­это­му

где r — ра­ди­ус сферы. Пло­щадь сферы 

а) В плос­ко­сти  через точку К про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­но . Пусть эта пря­мая пе­ре­се­ка­ет диа­го­наль  в точке L. В плос­ко­сти ос­но­ва­ния  про­ве­дем пря­мую , пусть она пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну  в точке P. Тре­уголь­ник — се­че­ние, про­хо­дя­щее через точки К и па­рал­лель­но пря­мой . Дей­стви­тель­но, пря­мая  па­рал­лель­на плос­ко­сти се­че­ния, так как па­рал­лель­на ле­жа­щей в нем пря­мой KL.

В плос­ко­сти ос­но­ва­ния через точку  про­ве­дем пря­мую па­рал­лель­но . Пусть она пе­ре­се­ка­ет в точке М. За­ме­тим, что  и , по­это­му . По тео­ре­ме Фа­ле­са па­рал­лель­ные пря­мые вы­се­ка­ют на сто­ро­нах угла  про­пор­ци­о­наль­ные от­рез­ки, по­это­му . Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б) Пусть те­перь точка N — ос­но­ва­ние вы­со­ты  тре­уголь­ни­ка , яв­ля­ю­ще­го­ся про­ек­ци­ей на­клон­ной PN на плос­кость . Тогда угол — ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го дву­гран­но­го угла. Имеем: 

Тем самым,