Тема 16. Планиметрическая задача

В условии задачи имеются соотношения на отрезки; чтобы их использовать, необходимо воспользоваться подобием. Чтобы его реализовать, проведём дополнительное построение: через точку D проведём прямую, параллельную СЕ. Эта прямая пересечёт отрезок AB в точке K. Пусть  заметим, что , поэтому BK:KE = BD:DC = 1:2, то есть   - медиана, поэтому   Зна­чит,

 

Ответ:

 

Научимся считать длину общей внешней касательной для двух произвольных окружностей радиуса r и R, чьи центры находятся на расстоянии a. (см. рисунок)

 Проведём перпендикуляр из центра первой окружности к прямой , пусть он пересекает в точке Q. Тогда - прямоугольник, значит,  

 Находим по теореме Пифагора:  . Так как , получаем:

Вернёмся к решению задачи. Пусть радиус третьей окружности равен x. Рассмотрим два случая: когда третья окружность находится между первой и второй, и когда это не так. В первом случае (см. рисунок) имеем: AC + CB = AB. При этом, по выведенной ранее формуле,

 (расстояние между центрами в случае AC и BC мы сумели вычислить, так как, по условию, окружности касаются между собой, а, значит, расстояние между центрами равно сумме радиусов).

Итак, получаем уравнение:

 

Во втором случае (см. рисунок) все формулы для длин остаются те же, но теперь CB - AC = AB, что приводит к уравнению:

  

Ответ:

а) Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, пусть M, H, N — точки ка­са­ния. Ка­са­тель­ные, про­ведённые к окруж­но­сти из одной точки равны: AM = AN, CM = CH, HB = BN. По­это­му:

 от­ку­да p = AM.

б) Для опре­де­ле­ния пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ис­поль­зу­ем фор­му­лу, свя­зы­ва­ю­щую её с по­лу­пе­ри­мет­ром, сто­ро­ной и ра­ди­у­сом внев­пи­сан­ной окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся этой сто­ро­ны и про­дол­же­ний двух дру­гих сто­рон тре­уголь­ни­ка:

 

Ответ:

а) Шестиугольник разбивается отрезками медиан на 6 треугольников; рассмотрим один из них, например, . Заметим, что  (высота к стороне MB общая, а длина стороны в 2 раза меньше по условию). Аналогично для шести оставшихся треугольников. "Большие" треугольники в сумме составляют весь ABC, поэтому утверждение доказано. 

б) Обо­зна­чим длины сто­рон BC, AC, AB тре­уголь­ни­ка ABC через a, b, c.

До­ка­жем, что квад­рат ме­ди­а­ны AA₁ равен  Для до­ка­за­тель­ства на про­дол­же­нии от­рез­ка за точку от­ло­жим от­ре­зок . По­лу­чим па­рал­ле­ло­грамм ACPB со сто­ро­на­ми AC = PB = b и AB = CP = c и диа­го­на­ля­ми BC = a и AP = 2AA₁. Сумма квад­ра­тов диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма равна сумме квад­ра­тов его сто­рон: от­ку­да Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся, что а

Теперь выразим стороны шестиугольника через отрезки медиан. От­ре­зок C₁A₂ — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABM, зна­чит,

 

Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, мы по­лу­чим, что сто­ро­ны ше­сти­уголь­ни­ка втрое мень­ше ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC:

Сле­до­ва­тель­но, сумма квад­ра­тов сто­рон ше­сти­уголь­ни­ка равна

Ответ:

а) Пусть две хорды равны 3x и 3y. По тео­ре­ме о про­из­ве­де­нии пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд 2x · x = 2y · y. От­сю­да на­хо­дим, что x = y, зна­чит, эти хорды равны. Ана­ло­гич­но до­ка­жем, что тре­тья хорда равна каж­дой из пер­вых двух.

б) Рав­ные хорды рав­но­уда­ле­ны от цен­тра окруж­но­сти, по­это­му центр рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках по­пар­но­го пе­ре­се­че­ния хорд сов­па­да­ет с цен­тром дан­ной окруж­но­сти. Пусть хорды BE и CF пе­ре­се­ка­ют хорду AD в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но, хорды BE и FC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке T, а H — про­ек­ция цен­тра O на хорду AD. Тогда H — общая се­ре­ди­на от­рез­ков AD и PQ, а OH — ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка PQT со сто­ро­ной PQ.

Через точку T про­ведём пря­мую, па­рал­лель­ную AD, через точку P — пря­мую, па­рал­лель­ную CF, а через точку Q — пря­мую, па­рал­лель­ную BE. Эти пря­мые и хорды AD, BE и CF раз­би­ва­ют ше­сти­уголь­ник ABCDEF на 13 оди­на­ко­вых рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков.

Обо­зна­чим PQ = 2a. Тогда

 

 

От­сю­да на­хо­дим, что a = 3, зна­чит, PQ = 2a = 6,

Сле­до­ва­тель­но,

 

Ответ:

а) Заметим, что если мы проведём окружность из середины AC с радиусом, равным половине AC, то точки A и C будут лежать на ней (по построению), а также будут лежать точки Q и P (прямой угол, опирающийся на диаметр). В таком случае углы PAC и PQC равны, как опирающиеся на одну дугу. 

б) Нам уже известен угол в треугольнике; если мы найдём сторону  AC, то сможем воспользоваться формулой  Для поиска AC воспользуемся подобием:  (обратите внимание на правильный порядок написания вершин). Отсюда  (первое равенство - определение подобия, второе - определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике)   От­сюда выражаем длину AC: Тогда ра­ди­ус R окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC равен

 

Ответ:

а) Из­вест­но, что ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны. Зна­чит,

 Если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный с прямым углом, из которого исходит медиана. Доказать это можно, например, построив окружность с центром из середины стороны и радиусом, равным медиане. Тогда на ней окажутся все три вершины треугольника, то есть эта окружность - вписанная, сторона - диаметр, а угол, опирающийся на диаметр - прямой. Доказано.

б) Тре­уголь­ник  пря­мо­уголь­ный с прямым углом B. По­это­му

Ана­ло­гич­но, из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  на­хо­дим:

Сло­жим по­лу­чен­ные ра­вен­ства:

Ответ: 180.

а) Пусть Q — центр вто­рой окруж­но­сти, M и N — её точки ка­са­ния со сто­ро­на­ми AB и AC со­от­вет­ствен­но, а точка H — про­ек­ция точки Q на BC. Имеем: сле­до­ва­тель­но,  Тогда  По­это­му  что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б) Пусть x — ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник OHQ:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра  от­ку­да:

Усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко Кста­ти, от­сю­да сле­ду­ет, что точки O и H сов­па­да­ют.

Ответ: 

а) Пусть тогда где H — про­ек­ция О на BC. По­это­му Из усло­вия сле­ду­ет, что Тогда (опи­ра­ют­ся на хорду ОС). Тогда по при­зна­ку, свя­зан­ным со свой­ством впи­сан­ных углов, точки О, В, К, С лежат на одной окруж­но­сти, ч. т. д.

б) тогда Рас­смот­рим   Из пунк­та а) тогда так как че­ты­рех­уголь­ник OBKC впи­сан­ный.

Воспользуемся формулой: 

тогда 

Рас­смот­рим тре­уголь­ник KBC:

Ответ: 

а) Про­ведём ме­ди­а­ну AE к ос­но­ва­нию BC, по­сколь­ку тре­уголь­ник ABC — рав­но­бед­рен­ный, ме­ди­а­на AE яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и вы­со­той. Про­ведём MK, за­ме­тим, что , т. к. он впи­сан­ный и опи­ра­ется на диа­метр окруж­но­сти. По­это­му MK пер­пен­ди­ку­ляр к ВС. Тогда MK — сред­няя линия AEС (так как параллельна одной стороне и исходит из середины другой), и тогда КС = EК. По­сколь­ку CE = 2CK, имеем: BK = 3CK, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б) Пусть Тогда и пусть тогда По свой­ству се­ку­щих имеем: 

Подставляя значение для 2y во второе уравнение, получаем квадратное уравнение на искомое x:

Из условия x>17 остаётся только корень x=18.

Ответ: 

а) Пусть O — центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC. 

Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, зна­чит, AO — бис­сек­три­са угла BAC. Тре­уголь­ник AOD пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный, по­это­му . Сле­до­ва­тель­но, 

б) Обо­зна­чим BF = x. По тео­ре­ме о ра­вен­стве от­рез­ков ка­са­тель­ных, про­ведённых к окруж­но­сти из одной точки, AE = AD = 2, CF = CD = 10 и BE = BF = x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра , или . Из этого урав­не­ния на­хо­дим, что x = 3. Тогда 

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 

а) Заметим, что четырёхугольник можно вписать в окружность (так как ). Тогда

(*)

(как опирающиеся на одну дугу).

 С другой стороны, вокруг четырёхугольника тоже можно описать окружность (с центром в середине BC и радиусом, равным половине BC). Тогда имеем, по теореме об углах в окружности, . С другой стороны, по свойству смежных углов,   . Совмещая, получаем 

 (**)

Комбинируя равенство (*) и (**), получаем искомое. 

б) Воспользуемся доказанным в предыдущем пункте. Исходя из этого, а также равенства прямых углов, имеем подобие:

(обратите внимание на порядок букв в записи). Записывая соотношение сторон, имеем:

(последнее равенство - согласно определение тангенса угла в прямоугольном треугольнике).

Угол BAC мы знаем, это позволяет вычислить его тангенс и найти ВС:

 

Ответ: 24.

а) Пусть  . Углы BAC и KHB равны, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим четырёхуголь­ник BKHM , сле­до­ва­тель­но, четырёхуголь­ник BKHM впи­сан в окруж­ность. Зна­чит, углы KHB и KBM — впи­сан­ные, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу, сле­до­ва­тель­но, они равны. Таким об­ра­зом, . Тре­уголь­ни­ки ABC и MBK имеют общий угол B и , зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам.

б) Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BKH на­хо­дим, что Для тре­уголь­ни­ка ABC спра­вед­ли­во ра­вен­ство Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем: Сто­ро­ны BC и BK — сход­ствен­ные в по­доб­ных тре­уголь­ни­ках ABC и MBK, сле­до­ва­тель­но, их ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия Найдём от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MBK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка AKMC: 

Ответ: