www.abcege.ru - Разбор заданий

Задание 1 Показательные уравнения

а) Решить уравнение $\text{[math]}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие интервалу $\text{[math]}$

Пояснение

а) Преобразуем исходное уравнение; наша цель - свести его к квадратному, поэтому приводим показатели степени к одному и тому же значению:

$\text{[math]}$

Теперь, после замены $\text{[math]}$ получаем квадратное уравнение $\text{[math]}$ корни которого $\text{[math]}$

Возвращаемся к исходной переменной:

$\text{[math]}$

б) Нам надо понять, входят ли полученные выше значения x в указанный в условии интервал $\text{[math]}$ Прежде всего отметим, что $\text{[math]}$ (так как логарифм всегда больше нуля) поэтому первый корень не входит в промежуток. Обозначим второй корень за y. Тогда $\text{[math]}$ Имеем: $\text{[math]}$ откуда, логарифмируя неравенство и добавляя информацию об интервале из условия, получаем:

$\text{[math]}$

Следовательно, второй корень входит в промежуток.

Ответ: а) $\text{[math]}$ б) $\text{[math]}$

Задание 2 Показательные уравнения

а) Решить уравнение $\text{[math]}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие интервалу $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

а) Преобразуем исходное уравнение; наша цель - свести его к квадратному, поэтому приводим показатели степени к одному и тому же значению:

$\text{[math]}$

Теперь, после замены $\text{[math]}$ получаем квадратное уравнение $\text{[math]}$ корни которого $\text{[math]}$

Возвращаемся к исходной переменной:

$\text{[math]}$

б) Нам надо понять, входят ли полученные выше значения x в указанный в условии интервал $\text{[math]}$ Прежде всего отметим, что первый корень, $\text{[math]}$ , не входит в промежуток, так как скобочка круглая, а, значит, конец не входит. Обозначим второй корень за y. Тогда $\text{[math]}$ Заметим, что: $\text{[math]}$ откуда, логарифмируя неравенство и добавляя информацию об интервале из условия, получаем:

$\text{[math]}$

Следовательно, второй корень входит в промежуток.

Ответ: а) $\text{[math]}$ б) $\text{[math]}$

Задание 3 Показательные уравнения

а) Решить уравнение $\text{[math]}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Если посмотреть на основания степени, то становится видно, что справа написано разложение на множители основателя степени слева. Воспользуемся этим, чтобы упростить и сократить уравнение:

$\text{[math]}$

Степенные выражения с равным основанием равны тогда и только тогда, когда равны показатели степени. Пользуясь этим, продолжаем преобразование:

$\text{[math]}$

б) Так как все корни определены с точностью до $\text{[math]}$ перенесём начало и конец отрезка на $\text{[math]}$ назад; получим отрезок $\text{[math]}$

Рисуя тригонометрический круг, непосредственно убеждаемся, что ему принадлежат корни $\text{[math]}$

Перенося на $\text{[math]}$ вперёд, получаем искомые корни $\text{[math]}$

Ответ: а) $\text{[math]}$ б) $\text{[math]}$

Задание 4 Показательные уравнения

а) Решить уравнение $\text{[math]}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Наша цель - избавиться от степенных выражений; для этого приведём выражения слева и справа к одному основанию степени. Имеем:

$\text{[math]}$

В первом равенстве мы воспользовались формулой перехода к степени другого основания.

Степенные выражения с одинаковым основание равны тогда и только тогда, когда равны их основания. Пользуясь этим, продолжим:

$\text{[math]}$

Во втором переходе мы воспользовались формулой приведения.

Далее, пользуясь формулой двойного угла: $\text{[math]}$ мы раскладываем левую часть на множители, что позволяет решить уравнение:

$\text{[math]}$

б) Разобьём отрезок на 2: $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ Отмечая корни на 2 соответствующих тригонометрических кругах, узнаём, что нам подходят корни $\text{[math]}$

Ответ: а) $\text{[math]}$ б) $\text{[math]}$

Задание 5 Показательные уравнения

а) Решить уравнение $\text{[math]}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Наша цель - избавиться от степенных выражений; для этого приведём выражения слева и справа к одному основанию степени. Имеем:

$\text{[math]}$

В первом и третьем преобразовании мы воспользовались тождеством $\text{[math]}$

Степенные выражения с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их основания. Пользуясь этим, продолжим:

$\text{[math]}$

Произведение сомножителей равно 0, значит, какой-то из них равен нулю:

$\text{[math]}$

б) Разобьём отрезок на 2: $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ Отмечая корни на 2 соответствующих тригонометрических кругах, узнаём, что нам подходят корни $\text{[math]}$

Ответ: а) $\text{[math]}$ б) $\text{[math]}$

Задание 6 Показательные уравнения

а) Решить уравнение $\text{[math]}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

а) Преобразуем исходное уравнение; наша цель - свести его к квадратному, поэтому приводим показатели степени к одному и тому же значению:

$\text{[math]}$

Теперь, после замены $\text{[math]}$ получаем квадратное уравнение $\text{[math]}$ корни которого $\text{[math]}$

Возвращаемся к исходной переменной:

$\text{[math]}$

В первом преобразовании мы заметили, что степень не может равняться отрицательному числу, поэтому сразу исключили первое уравнение.

б) Разобьём отрезок на 2: $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$

Отмечая корни на соответствующих тригонометрических кругах, выясняем, что нам годятся корни

$\text{[math]}$

Ответ: а) $\text{[math]}$ б) $\text{[math]}$

Задание 7 Показательные уравнения

а) Решить уравнение $\text{[math]}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

ПОЯСНЕНИЕ

Наша цель - избавиться от степенных выражений; для этого приведём выражения слева и справа к одному основанию степени. Имеем:

$\text{[math]}$

В первом преобразовании мы воспользовались тождеством $\text{[math]}$

Степенные выражения с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их основания. Пользуясь этим, продолжим:

$\text{[math]}$

Произведение сомножителей равно 0, значит, какой-то из них равен нулю:

$\text{[math]}$

б) Отмечая корни на соответствующем тригонометрическом круге, узнаём, что нам подходит лишь корень $\text{[math]}$

Ответ: а) $\text{[math]}$ б) $\text{[math]}$

Задание 8 Показательные уравнения

а) Решить уравнение $\text{[math]}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

ПОЯСНЕНИЕ

а) После замены $\text{[math]}$ получаем квадратное уравнение $\text{[math]}$ корни которого $\text{[math]}$

(Заметим, что корни этого уравнения удобнее не считать по дискриминанту, а угадать, используя теорему Виета; очевидно, что произведение этих чисел равно свободному члену, а сумма - коэффициенту при t, взятому с минусом).

Возвращаемся к исходной переменной:

$\text{[math]}$

б) Отмечая корни на соответствующем тригонометрическом круге, выясняем, что нам годятся корни

$\text{[math]}$

Ответ: а) $\text{[math]}$ б) $\text{[math]}$

Задание 9 Тригонометрические уравнения

а) Решить уравнение $\text{[math]}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

ПОЯСНЕНИЕ

а) Воспользуемся формулой двойного угла: $\text{[math]}$

и преобразуем уравнение:

$\text{[math]}$

Отсюда получаем ответ:

$\text{[math]}$

б) Отмечая корни на соответствующем тригонометрическом круге, выясняем, что нам годятся корни

$\text{[math]}$

Ответ: а) $\text{[math]}$ б) $\text{[math]}$

Задание 10 Тригонометрические уравнения

а) Решить уравнение $\text{[math]}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

ПОЯСНЕНИЕ

Вспомнив формулу двойного угла ( $\text{[math]}$ ) и основное тригонометрическое тождество ( $\text{[math]}$ ), заметим, что уравнение может быть сведено к однородному относительно $\text{[math]}$ Воспользуемся этим:

$\text{[math]}$

Разделим уравнение на $\text{[math]}$ и получим квадратное уравнение относительно $\text{[math]}$

$\text{[math]}$
б) Разобьём отрезок на 2: $\text{[math]}$

и

$\text{[math]}$ Отмечая корни на 2 соответствующих тригонометрических кругах, узнаём, что нам подходят корни $\text{[math]}$

Ответ: а) $\text{[math]}$ б) $\text{[math]}$

Задание 11 Тригонометрические уравнения

а) Решить уравнение $\text{[math]}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

ПОЯСНЕНИЕ

Если мы перенесём $\text{[math]}$ в правую часть, то увидим формулу двойного угла, записанную для $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ). Воспользуемся этим:

$\text{[math]}$

б) Рисуя тригонометрический круг, непосредственно убеждаемся, что указанному отрезку принадлежат корни $\text{[math]}$

Ответ: а) $\text{[math]}$ б) $\text{[math]}$

Задание 12 Тригонометрические уравнения

а) Решить уравнение $\text{[math]}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

ПОЯСНЕНИЕ

а) Если мы воспользуемся формулой приведения, возникнет $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Таким образом, чтобы привести уравнение к квадратному относительно одной тригонометрической функции, нам требуется воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: $\text{[math]}$ Итак:

$\text{[math]}$

(в последнем переходе мы воспользовались тем, что косинус не может быть больше единицы, и по этой причине сразу отмели второй случай).

б) Разобьём отрезок на 2: $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$

Отмечая корни на соответствующих тригонометрических кругах, выясняем, что нам годится лишь корень

$\text{[math]}$

Ответ: а) $\text{[math]}$ б) $\text{[math]}$

Задание 13 Тригонометрические уравнения

а) Решить уравнение $\text{[math]}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

ПОЯСНЕНИЕ

а) Воспользуемся формулой приведения:

$\text{[math]}$

Имеем по основному тригонометрическому тождеству: $\text{[math]}$ Итак:

$\text{[math]}$

б) Разобьём отрезок на 2: $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$

Отмечая корни на соответствующих тригонометрических кругах, выясняем, что нам годятся корни

$\text{[math]}$

Ответ: а) $\text{[math]}$ б) $\text{[math]}$

Задание 14 Тригонометрические уравнения

а) Решить уравнение $\text{[math]}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

ПОЯСНЕНИЕ

а) Воспользуемся формулой двойного угла ( $\text{[math]}$ ), чтобы привести уравнение к одному аргументу, перенесём всё в левую часть, а дальше разложим получившееся слева выражение на множители:

$\text{[math]}$

Произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из них. Пользуясь этим, продолжаем:

$\text{[math]}$

(Для решения первого уравнения разделим обе части на $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

б) Отмечая корни на соответствующем тригонометрическом круге, выясняем, что нам годятся корни

$\text{[math]}$

Ответ: а) $\text{[math]}$ б) $\text{[math]}$

Задание 15 Тригонометрические уравнения

а) Решить уравнение $\text{[math]}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

ПОЯСНЕНИЕ

а) Сведём выражение слева к выражению, зависящему только от $\text{[math]}$ Для этого следует воспользоваться последовательно формулой приведения и формулой двойного угла ( $\text{[math]}$ ), а также определением тангенса ( $\text{[math]}$ ). Далее разложим получившееся слева выражение на множители:

$\text{[math]}$

Произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из них. Пользуясь этим, продолжаем:

$\text{[math]}$

б) Разобьём отрезок на 2: $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ Отмечая корни на соответствующих тригонометрическах кругах, выясняем, что нам годятся корни

$\text{[math]}$

Ответ: а) $\text{[math]}$ б) $\text{[math]}$

Задание 16 Тригонометрические уравнения

а) Решить уравнение $\text{[math]}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

ПОЯСНЕНИЕ

а) По формуле приведения, $\text{[math]}$ Воспользуемся формулой двойного угла ( $\text{[math]}$ ), чтобы привести уравнение к одному аргументу, перенесём всё в левую часть, а дальше разложим получившееся слева выражение на множители:

$\text{[math]}$

Произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из них. Пользуясь этим, продолжаем:

$\text{[math]}$

б) Отмечая корни на соответствующем тригонометрическом круге, выясняем, что нам годятся корни

$\text{[math]}$

Ответ: а) $\text{[math]}$ б) $\text{[math]}$

Задание 17 Тригонометрические уравнения

а) Решить уравнение $\text{[math]}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

ПОЯСНЕНИЕ

а) Воспользуемся формулой для квадрата тангенса ( $\text{[math]}$ ), чтобы привести уравнение к квадратичному относительно $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Произведя замену $\text{[math]}$ получаем:

$\text{[math]}$

(делаем обратную замену)

$\text{[math]}$

(последнее преобразование получено из-за того, что косинус не может быть меньше -1).

б) Отмечая корни на соответствующем тригонометрическом круге, выясняем, что нам годится корень

$\text{[math]}$

Ответ: а) $\text{[math]}$ б) $\text{[math]}$

Задание 18 Тригонометрические уравнения

а) Решить уравнение $\text{[math]}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

ПОЯСНЕНИЕ

а) Эта задача несколько сложнее предыдущих. Во-первых, отметим ОДЗ: $\text{[math]}$ (так как стоит в знаменателе) и $\text{[math]}$ (так как присутствует тангенс). Далее нам бы хотелось свести уравнение к уравнению от одной тригонометрической функции одного знака. Квадрат тангенса выражается через квадрат косинуса, а вот квадрат котангенса выражается уже через синус. То есть, воспользовавшись цепочкой преобразований: $\text{[math]}$ ), приведём уравнение к квадратичному относительно $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Произведя замену $\text{[math]}$ получаем:

$\text{[math]}$

(делаем обратную замену)

$\text{[math]}$

(последнее преобразование нуждается в особом пояснении. Дело в том, что всегда, когда $\text{[math]}$ мы имеем также $\text{[math]}$ , в чём можно убедиться, например, по тригонометрическому кругу. Мы этот случай исключили ранее по ОДЗ, следовательно, вся эта серия корней исключается, и остаётся только второй случай).

б) Отмечая корни на соответствующем тригонометрическом круге, выясняем, что нам годится корень

$\text{[math]}$

Ответ: а) $\text{[math]}$ б) $\text{[math]}$

Задание 19 Тригонометрические уравнения

а) Решить уравнение $\text{[math]}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

ПОЯСНЕНИЕ

а) Первым делом отметим ОДЗ: $\text{[math]}$ (так как присутствует котангенс). Сведём наше уравнение к уравнению от $\text{[math]}$ по определению $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

(пользуясь основным тригонометрическим тождеством $\text{[math]}$ , сводим уравнение к квадратному относительно $\text{[math]}$ и решаем его):

$\text{[math]}$

(последнее преобразование нуждается в особом пояснении. Дело в том, что всегда, когда $\text{[math]}$ мы имеем также $\text{[math]}$ , в чём можно убедиться, например, по тригонометрическому кругу. Мы этот случай исключили ранее по ОДЗ, следовательно, вся эта серия корней исключается, и остаётся только второй случай).

б) Отмечая корни на соответствующем тригонометрическом круге, выясняем, что нам годится корень

$\text{[math]}$

Ответ: а) $\text{[math]}$ б) $\text{[math]}$

Тема 13. Уравнения, системы уравнений

Доступ к этому разделу пока ограничен

Есть два варианта, как поступить: