Тема 12. Наибольшее и наименьшее значение функций
-
Задание 1 Исследование степенных и иррациональных функций
Найдите точку максимума функции
Разбор задания СвернутьПояснение1. Отметим, что функция
определена и непрерывна на всей числовой прямой. Под точкой максимума функции понимается точка локального максимума.2. Будем искать точку локального максимума среди критических точек функции y(x), вычислив ее производную.
Производная y′(x) определена и непрерывна на всей числовой прямой, поэтому критические точки, если они есть, являются нулями производной.
3. Вычислим нули производной:
Прибавим к обеим частия уравнения 192:
Разделим обе части уравнения на 3:
Выразим x:
4. Имеем три промежутка знакопостоянства производной y′(x). Это интер- валы (−∞, −8), (−8, 8), (8, +∞). Отметим, что график функции y′(x) — парабола, направленная ветвями вверх.
На интервалах (−∞, −8)и(8, +∞) y′(x) > 0.На интервале (−8, 8) y′(x) < 0.
(рис.1)
5. Заметим, что промежутки знакопостоянства производной y′(x) являются промежутками монотонности функции y(x).
(рис. 2)
То есть на интервале (−8, 8) y(x) убывает, а на интервалах (−∞, −8) и (8, +∞) y(x) возрастает (см. рис 2). Точкой максимума функции y(x) является точка x = −8.
Ответ: -8. -
Пояснение
1. Отметим, что функция
определена и непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки x = 0, в которой она не принимает значения. Под точкой максимума функции понимается точка локального максимума.Будем искать точку локального максимума среди критических точек функции y(x), вычислив ее производную.
Отметим, что производная y′(x) также определена и непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки x = 0.
2. Найдем нули производной и определим ее промежутки знакопостоянства.
Вычтем из обеих частей уравнения единицу:
Так как мы уже определили, что
, домножим обе части уравнения на 
:
Выразим x:
3. Имеем четыре промежутка знакопостоянства производной y′(x). Это интервалы (−∞, −7), (−7, 0), (0, 7), (7, +∞).
Взяв любую точку на каждом из интервалов, выясним, какой знак имеет функция
На интервале (−∞, −7)
На интервале (−7, 0)
На интервале (0, 7)
На интервале (7, +∞)
Таким образом, на интервалах (−∞, −7) и (7, +∞)
а на интервалах (−7, 0) и (0, 7)
(рис. 1)4. Заметим, что промежутки знакопостоянства производной y′(x) являются промежутками монотонности функции y(x).
(рис. 2)То есть функция y(x) возрастает на интервалах (−∞, −7) и (7, +∞) и убывает на интервалах (−7, 0) и (0, 7) (см. рис 2). Таким образом, точкой максимума функции y(x) является точка x = −7.
Ответ: -7.
-
Пояснение
1. Отметим, что функция
определена и непрерывна на всей числовой прямой. Под точкой минимума функции понимается точка локального минимума.2. Будем искать точку локального минимума среди критических точек функции y(x), вычислив ее производную.
Последнее выражение мы можем упростить. Вынесем
за скобки:
Отметим, что
определена и непрерывна на всей числовой прямой. Поэтому критические точки, если они есть, являются нулями производной.3. Вычислим нули производной:
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как экспонента не может быть равна нулю, то
Таким образом, x = 4.
4. Имеем два промежутка знакопостоянства производной y′(x). Это интервалы (−∞, 4) и (4, +∞). Отметим, что
, то есть не оказывает влияния на знак всей функции.На интервале (−∞, 4)
y′(x) < 0,
на интервале (4, +∞)
y′(x) > 0.
5. Заметим, что промежутки знакопостоянства производной y′(x) являются промежутками монотонности функции y(x). То есть на интервале (−∞, 4) y(x) убывает, а на интервале (4, +∞) y(x) возрастает.
Значит точка x = 4 является точкой минимума функции y(x).
Ответ: 4.
-
Задание 1 Исследование показательных и логарифмических функций
Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [−4,5 , 0].Разбор задания СвернутьПояснение1. Отметим, что функция
Заметим теперь, что функция y(x) определена и непрерывна на исследуемом отрезке [−4,5 , 0]: область определения функции (−5, +∞).
Поэтому y(x) достигает наибольшего значения на отрезке либо в одной из точек локального максимума, либо в концах отрезка.2. Найдем точки локального максимума среди критических точек функции y(x), вычислив ее производную на области определения (−5, +∞):
Отметим, что
определена и непрерывна на интервале (−5, +∞).Поэтому критические точки на этом интервале, если они есть, являются нулями производной.
3. Найдем нули производной:
Прибавим к обеим частям уравнения 5:
Разделим обе части уравнения на 5 и умножим их на x + 5 (на интервале (−5, +∞) выражение x + 5
0):
Выразим x: x=-4.
4. Имеем два промежутка знакопостоянства производной y′(x) на интервале (−5, +∞). Это интервалы (−5, −4) и (−4, +∞).
Взяв любую точку на каждом из интервалов, выясним, какой знак имеет функция
На интервале (−5, −4)
На интервале (4, +∞)
Таким образом, на интервале (−5, −4)
y′(x) > 0,
а на интервале (−4, +∞)
y′(x) < 0.
5. Заметим, что промежутки знакопостоянства производной y′(x) на интервале (−5, +∞) являются промежутками монотонности функции y(x) на интервале (−5, +∞).
Значит на интервале (−5, −4) y(x) возрастает, а на интервале (−4, +∞) y(x) убывает.
Значит точка x = −4 является точкой максимума функции y(x), причем максимум в этой точке является наибольшим значением функции на всей области определения (−5, +∞). То есть значение y(x) = 5 ln (x + 5) − 5x в точке x = −4 больше, чем в любой другой точке интервала, в том числе и в концах исследуемого отрезка [−4,5 , 0].
Точка x = −4 принадлежит исследуемому отрезку, поэтому наибольшее значение функции y(x) на отрезке [−4,5 , 0] достигается в точке x = −4. Вычислим это значение:
Ответ: 20.
-
Задание 1 Исследование тригонометрических функций
Найдите наименьшее значение функции y = 5 cos x − 6x + 4 на отрезке
Разбор задания СвернутьПояснение1. Заметим, что функция y(x) = 5 cos x − 6x + 4 определена и непрерывна на всей числовой прямой, в том числе и на исследуемом отрезке
, так как непрерывны 5 cos x и −6x + 4, суммой которых является y(x) = 5cos x−6x+4.Значит y(x) достигает наименьшего значения на отрезке либо в одной из точек локального минимума, либо в концах отрезка.
2. Найдем точки локального минимума среди критических точек функции y(x), вычислив ее производную.
y′(x) = (5cosx − 6x + 4)′ = (5cosx)′ − (6x)′ + (4)′ = 5(cos x)′ − 6(x)′ + 0 = −5 sin x − 6.
Производная y′(x) = −5 sin x − 6 определена и непрерывна на множестве действительных чисел (в силу непрерывности синуса) и во всех точках принимает отрицательные значения: нулей нет.
Действительно, −5sin x − 6 = 0 тогда и только тогда, когда
, что 5 не может быть выполнено ни при каких x: для любого x значения sin x по модулю меньше единицы.3. Функция y′(x) = −5 sin x − 6 не имеет нулей, а значит не меняет знака, и, вычислив ее значение в любой точке, выясним, что она принимает только отрицательные значения:
y′(0) = −5sin0−6 = 0−6 = −6.
Промежутки знакопостоянства производной y′(x) являются промежутками монотонности функции y(x).
y′(x) < 0, поэтому функция y(x) = 5 cos x − 6x + 4 монотонно убывает на всей области определения и не имеет точек локального минимума.
4. Так как точек локального минимума нет, y(x) может достигнуть своего минимального значения только в концах отрезка
, причем, так как y(x) убывает, она достигает своего минимума в правом конце отрезка, то есть в точке 0.Вычислим наименьшее значение функции y(x) на отрезке
y(0) = 5cos(0)−6·0+4 = 5·1+4 = 9.
Ответ: 9.
-
Задание 1 Исследование функций без помощи производной
Найдите точку максимума функции
Разбор задания СвернутьПояснение1.
— сложная функция. Значение y(x) получается извлечением квадратного корня из функции
Отметим, что функция
определена при g ⩾ 0.2. Так как
— возрастающая функция на всей области определения g ⩾ 0, то точка максимума функции g(x) совпадает с точкой максимума y (g(x)) (при условии, что y (g(x)) определена в этой точке).Выясним точку максимума функции
. Это квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при 
, графиком функции g(x) является парабола, ветви которой направлены вниз. Значит координата x вершины параболы является точкой максимума функции g(x).
Координату x вершины параболы найдем по формуле
где a и b — коэффициенты параболы, заданной функцией
. Подставим значения коэффициентов:
3. Точкой максимума функции g(x) является точка x = −9. Проверим, что она входит в область определения y (g(x)): g(x) > 0.
значит точка x = −9 входит в область определения y (g(x)) и является ее точкой максимума.
Ответ: -9.
-
Задание 2 Исследование функций без помощи производной
Найдите наименьшее значение функции
Разбор задания СвернутьПояснение1.
— сложная функция. Значение y(x) получается извлечением квадратного корня из функции
Отметим, что функция
определена при g ⩾ 0.2. Требуется найти наименьшее значение функции y(x). Так как
— возрастающая функция на всей области определения g(x) ⩾ 0, то наименьшее значение она принимает при наименьшем g.
Будем искать наименьшее значение функции g(x).Имеем квадратичную функцию. Пользуясь формулой
выделим полный квадрат:
В последнем выражении
поэтому выражение
принимает наименьшее значение, если
Избавимся от квадрата: x+1=0.
Получим, что x = −1.
Найдем значение g(x) в точке x = −1: g(−1) = 0+81 = 81.
Отметим, что условие g(x) ⩾ 0 при x = −1 выполнено: 81 > 0.
3. y(g(x)) принимает наименьшее значение при g = 81. Вычислим его:
Ответ: 9.
-
Задание 2 Исследование степенных и иррациональных функций
Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [−8, 0].Разбор задания СвернутьПояснение1. Отметим, что функция
определена и непрерывна на исследуемом отрезке [−8, 0]: область определения функции — все действительные числа. Поэтому y(x) достигает наибольшего значения на отрезке либо в одной из точек локального максимума, либо в концах отрезка.2. Будем искать точки локального максимума среди критических точек функции y(x), вычислив ее производную.
Производная y′(x) определена и непрерывна на всей числовой прямой, поэтому критические точки, если они есть, являются нулями производной.
3. Вычислим нули производной:
Прибавим к обеим частия уравнения 147:
Разделим обе части уравнения на 3:
Выразим x:
4. Имеем три промежутка знакопостоянства производной y′(x). Это интервалы (−∞, −7), (−7, 7), (7, +∞). Отметим, что график функции y′(x) — парабола, направленная ветвями вверх.
Наинтервалах (−∞, −7) и (7, +∞)y′(x) > 0.
На интервале (−7, 7)
y′(x) < 0.
(рис. 1)5. Заметим, что промежутки знакопостоянства производной y′(x) являются промежутками монотонности функции y(x).
(рис. 2)То есть на интервале (−7, 7) y(x) убывает, а на интервалах (−∞, −7) и (7, +∞) y(x) возрастает (см. рис 2). Точкой максимума функции y(x) является точка x = −7, причем максимум в этой точке является наибольшим значением функции по крайней мере на интервале (−∞, 7) (правее точки минимума x = 7 функция y(x) неограниченно возрастает, и наступит момент, когда ее значение привысит значение в точке x = −7).
То есть значение
в точке x = −7 больше, чем в любой другой точке интервала (−∞, 7), в том числе и в концах исследуемого отрезка [−8, 0].
Точка x = −7 принадлежит исследуемому отрезку, поэтому наибольшее значение функции y(x) на отрезке [−8, 0] достигается в точке x=−7. Вычислим это значение:
Ответ: 697.
-
Задание 3 Исследование функций без помощи производной
Найдите точку минимума функции
Разбор задания СвернутьПояснение1.
— сложная функция. Значение y(x) получается взятием логарифма из функции
и прибавлением к нему восьмерки.
Отметим, что функция y(g) = ln g + 8 определена при g > 0.
2. Так как
— возрастающая функция на всей области определения g > 0, то точка минимума функции g(x) совпадает с точкой минимума y (g(x)) (при условии, что y (g(x)) определена в этой точке).3. Выясним точку минимума функции
. Это квадратичная функция с положительным коэффициентом при , графиком функции g(x) является парабола, ветви которой направлены ввверх. Значит координата x вершины параболы является точкой минимума функции g(x).
Координату x вершины параболы найдем по формулегде a и b — коэффициенты параболы, заданной функцией
. Подставим значения коэффициентов:
4. Точкой минимума функции g(x) является точка x = 15. Проверим, что она входит в область определения y (g(x)): g(x) > 0.
значит точка x = 15 входит в область определения y (g(x)) и является ее точкой минимума.
Ответ: 15.
