www.abcege.ru - Разбор заданий

Задание 1 Задачи на движение по окружности

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 44 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 33 км. Ответ дайте в км/ч.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Мотоциклист догнал велосипедиста через 10 минут после отправления, к этому моменту велосипедист ехал 40 минут. Значит мотоциклист проехал то же расстояние, что и велосипедист, но в 4 раза быстрее. Пусть скорость велосипедиста v км/мин, тогда скорость мотоциклиста 4v км/мин.

2. Мотоциклист и велосипедист движутся по круговой трассе. Длина круга — 33 км. Через 44 минуты после первой встречи мотоциклист догнал велосипедиста снова. Это значит, что мотоциклист проехал на целый круг больше, чем велосипедист.

Мотоциклист двигался со скоростью 4v км/мин, поэтому расстояние, которое он проехал 44 · 4v км.

Велосипедист двигался со скоростью v км/мин, поэтому расстояние, которое он проехал 44 · v км.

Получается, что

Это линейное уравнение с неизвестной — скоростью велосипедиста. Вычтем из обеих частей уравнения 44 · v:

Разделим обе части уравнения на 3:

Выразим v, разделив обе части уравнения на 44:

Скорость мотоциклиста:

3. Заметим, что скорость мотоциклиста выражена в км/мин. Ответ требуется дать в км/ч.

Ответ: 60.

Задание 1 Задачи на движение по воде

Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна v км/ч, тогда скорость лодки против течения v − 1 км/ч, а скорость лодки по течению v + 1 км/ч. На путь против течения лодка затратила $\text{[math]}$ ч, а на путь по течению $\text{[math]}$ ч. На путь по течению было затрачено времени 2 часа меньше. Составим уравнение:

$\text{[math]}$

2. Отметим, что v − 1 и v + 1 не равны нулю (по условию задачи). Избавимся от знаменателя: домножим обе части уравнения на (v + 1)(v − 1).

Раскроем скобки:

Вычтем из обеих частей уравнения 255v:

$\text{[math]}$

Вычтем из обеих частей уравнения 255 и 2:

$\text{[math]}$

Разделим обе части уравнения на −2:

$\text{[math]}$

Выразим v:

$\text{[math]}$

По условию задачи скорость v должна быть положительным числом. Поэтому

v = 16 км/ч.

Ответ: 16.

Задание 1 Задачи на проценты сплавы и смеси

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 1% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Обозначим стоимость акций при открытии торгов в понедельник за 1. По условию, акции в понедельник подорожали на некоторое количество процентов, обозначим это количество n.

Один процент от числа—это $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ %= $\text{[math]}$

Таким образом, стоимость акций к закрытию торгов в понедельник составила

$\text{[math]}$

2. Во вторник акции подешевели на такое же количество процентов, то есть доля, на которую снизилась цена к закрытию торгов, равна $\text{[math]}$ На утро вторника цена акций составляла

$\text{[math]}$

значит стоимость акций снизилась на

$\text{[math]}$

и стала составлять

$\text{[math]}$

3. В результате стоимость акций снизилась на 1% по сравнению с их изначальной стоимостью (в понедельник утром). Так как

1%= $\text{[math]}$ ,

вечером во вторник акции стали стоить

$\text{[math]}$

4. Приравняем стоимость акций, полученную двумя способами:

$\text{[math]}$

Из полученного уравнения можно найти количество процентов n, на которое подорожали акции в понедельник. Решим уравнение. Упростим выражение в левой части уравнения:

Вычтем из обеих частей уравнения 1:

Домножим обе части уравнения на −1 и посчитаем правую часть:

Избавимся от квадрата:

$\text{[math]}$

Домножим обе части равенства на 100:

$\text{[math]}$

Вспомним, что n — количество процентов, положительное число по смыслу задачи.

n = 10.

Ответ: 10.

Задание 1 Задачи на движение по прямой

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Расстояние между A и B 98 км. Пусть скорость велосипедиста по дороге из A в B была равна v км/ч, тогда путь от A до B он преодолел за $\text{[math]}$ ч.

На пути обратно велосипедист двигался со скоростью v+7 км/ч, значит, если бы он не останавливался на 7 часов, он преодолел бы весь путь за $\text{[math]}$ ч.

С остановкой на 7 часов он затратил $\text{[math]}$ ч.

Время, затраченное на путь от A до B, равно времени, затраченному на путь от B до A. Составим уравнение:

$\text{[math]}$

2. Отметим, что v и v + 7 не равны нулю (по условию задачи). Избавимся от знаменателя: домножим обе части уравнения на v(v + 7).

Вычтем из обеих частей уравнения 98v:

$\text{[math]}$

Разделим обе части уравнения на 7:

$\text{[math]}$

Вычтем из обеих частей уравнения 98:

$\text{[math]}$

3. Мы получили квадратное уравнение. Корнями уравнения, по теореме, обратной теореме Виета, являются

$\text{[math]}$

По условию задачи скорость v должна быть положительным числом. Поэтому

v = 7 км/ч.

Ответ: 7.

Задание 1 Задачи на совместную работу

Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Пусть n — число деталей, которое делает за час второй рабочий. Тогда n + 1 — число деталей, которое делает за час первый рабочий.

Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет за $\text{[math]}$ часов, а второй рабочий за $\text{[math]}$ часов. При этом первый рабочий выполняет этот заказ на 1 час быстрее, чем второй. Запишем уравнение:

$\text{[math]}$

2. Число деталей n не равно нулю, поэтому мы можем домножить обе части уравнения на n(n+1):

$\text{[math]}$

Раскроем скобки:

$\text{[math]}$

Из обеих частей равенства вычтем 110n и 110:

$\text{[math]}$

3. Мы получили квадратное уравнение. Корнями уравнения, по теореме, обратной теореме Виета, являются

$\text{[math]}$

Так как количество деталей n не может быть отрицательным, n = 10.

Ответ: 10.

Задание 1 Задачи на прогрессии

Пете надо решить 333 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Петя решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Петя в последний день, если со всеми задачами он справился за 9 дней.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. В первый день Петя решил 5 задач. Во второй — 5 + a задач,

в третий — 5+a+a = 5+2a задач,

в четвертый 5+2a+a = 5+3a и т.д.

Количество задач с течением дней растет в арифметической прогрессии:

5,5 + a,5 + 2a,5 + 3a,...

Первый член арифметической прогрессии 5, разность прогрессии a.
Петя решил все задачи за девять дней, то есть членов прогрессии девять. Требуется определить, сколько задач Петя решил в последний (девятый) день, то есть нужно найти девятый член прогрессии.

2. Всего за девять дней Петя решил 333 задачи. По формуле суммы первых членов арифметической прогрессии:

$\text{[math]}$

Мы получили линейное уравнение с неизвестной a9. Разделим обе части уравнения на 9:

$\text{[math]}$

Домножим обе части уравнения на 2:

$\text{[math]}$

Вычтем из обеих частей уравнения 5:

$\text{[math]}$

Таким образом, в последний день Петя решил 69 задач.

Ответ: 69.

Задание 2 Задачи на движение по окружности

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 68 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 6 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 15 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 60 минут? Ответ дайте в км/ч.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Пусть средняя скорость первого гонщика u км/ч, а средняя скорость второго гонщика v км/ч.

Первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 60 минут.
60 минут = 1 час.

Путь, проходимый первым гонщиком за 1 ч равен u км. Путь, проходимый вторым гонщиком за 1 ч равен v км.

Первый через 1 час обогнал второго на круг длиной 6 км. То есть путь, пройденный первым гонщиком за 1 час на 6 км больше:

u км − v км = 6.

Так как, в среднем, гонщики движутся с постоянной скоростью, то за каждый час первый гонщик увеличивает отрыв от второго на 6 км. То есть скорость первого гонщика на 6 км/ч больше второго:

u = v + 6 (км/ч).

2. Требуется найти v. Первый гонщик финишировал на 15 минут раньше второго. 15 минут = $\text{[math]}$ ч.

Путь, пройденный гонщиками от старта до финиша 68 · 6 км. Время затраченное первым гонщиком:

Время, затраченное вторым гонщиком:

Так как первый гонщик финишировал на $\text{[math]}$ ч раньше, то:

3. Отметим, что v и v + 6 не равны нулю (по условию задачи). Избавимся от знаменателя: умножим обе части уравнения на v(v + 6):

Умножим обе части равенства на 4:

Вычтем из обеих частей равенства 17 · 36 · 16:

Это квадратное уравнение. Его дискриминант

Корни уравнения вычисляются по формуле:

По условию задачи скорость v должна быть положительным числом. Поэтому

v = 96 км/ч.

Ответ: 96.

Задание 2 Задачи на движение по воде

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна v км/ч, тогда скорость теплохода против течения v − 1 км/ч, а скорость теплохода по течению v + 1 км/ч. На путь против течения теплоход затратил $\text{[math]}$ ч, а на путь по течению $\text{[math]}$ ч.

Теплоход затратил на весь путь 34 часа, из которых 2 часа длилась стоянка. Значит всего по течению и против течения реки теплоход двигался 34 − 2 = 32 часа.

Составим уравнение:

$\text{[math]}$

2. Отметим, что v − 1 и v + 1 не равны нулю (по условию задачи). Избавимся от знаменателя: домножим обе части уравнения на (v + 1)(v − 1).

Раскроем скобки:

Разделим обе части уравнения на 2:

$\text{[math]}$

Вычтем из обеих частей уравнения 255v:

$\text{[math]}$

Это квадратное уравнение. Его дискриминант

Корни уравнения вычисляются по формуле:

По условию задачи скорость v должна быть положительным числом. Поэтому

v = 16 км/ч.

Ответ: 16.

Задание 2 Задачи на прогрессии

Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что
за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 11 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 33 метрам.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Пусть за первый день улитка проползла a м, а во второй день — a + d м. Тогда на третий день она проползла

a + d + d = a + 2d м,

в четвертый

a + 2d + d = a + 3d м

и т. д. Расстояние, которое проходит улитка, с течением дней растет в арифметической прогрессии:

a,a + d,a + 2d,a + 3d,...

Первый член арифметической прогрессии a, разность прогрессии d.

2. Требуется найти, сколько дней улитка потратила на весь путь. Обозначим количество дней за n. Тогда в последний (n-ный) день она проползла

$\text{[math]}$ м.

Известно, что за первый и последний дни улитка проползла 11 м:

$\text{[math]}$

3. По условию расстояние между деревьями, которое улитка преодолела за n дней, равно 33 метрам. Это сумма всех расстояний, которые проползала улитка каждый день. По формуле суммы первых членов арифметической прогрессии

$\text{[math]}$

Так как $\text{[math]}$ , то

$\text{[math]}$

Мы получили линейное уравнение с неизвестной n. Разделим обе части уравнения на 11:

$\text{[math]}$

Умножим обе части уравнения на 2:

6 = n.

Значит улитка потратила на весь путь 6 дней.

Ответ: 6.

Задание 2 Задачи на проценты сплавы и смеси

Митя, Артем, Паша и Женя учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 18% уставного капитала, Артем — 60000 рублей,
Паша — 0,18 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Женя. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1100000 рублей причитается Жене? Ответ дайте в рублях.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Один процент от числа — это $\text{[math]}$ .

Паша внес $\text{[math]}$ % уставного капитала.

Артем внес 60000 рублей из 200000, поэтому его доля составляет

$\text{[math]}$ % уставного капитала.

По условию Митя внес 18% уставного капитала. Таким образом, Паша, Митя и Артем вместе внесли

18% + 18% + 30% = 66% уставного капитала.

Значит Женя внес 100% − 66% = 34% уставного капитала.

2. По условию прибыль, полученная компанией, равна 1100000 рублей. Женя внес 34% уставного капитала, поэтому сумма, которая ему причитается, составляет 34% от 1100000 рублей:

34% $\text{[math]}$ (рублей).

Ответ: 374000.

Задание 2 Задачи на движение по прямой

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Обозначим расстояние между A и B за 2S. Пусть скорость первого автомо- биля была v км/ч, тогда время, за которое он преодолел путь от A до B равно $\text{[math]}$ ч.

Задание 3 Задачи на проценты сплавы и смеси

Смешали 3 литра 25-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 15-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Концентрация раствора — это доля, которую занимает объем вещества в объеме раствора в процентах.

Один процент от числа — это $\text{[math]}$

Доля, которую составляет вещество в 25-процентном растворе, составляет

25% $\text{[math]}$

Поэтому объем вещества в 3 литрах этого раствора равен

$\text{[math]}$ (л).

Доля, которую составляет вещество в 15-процентном растворе, составляет

15% $\text{[math]}$

Поэтому объем вещества в 12 литрах этого раствора равен

$\text{[math]}$ (л).

2. Объем нового раствора по условию

3 + 12 = 15 (л).

Объем вещества в этом растворе:

$\text{[math]}$ (л).

Отсюда концентрация раствора равна:

$\text{[math]}$ %.

Ответ: 17.

Задание 4 Задачи на проценты сплавы и смеси

Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 82 килограммов изюма?

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Отметим, что при получении изюма из винограда влага испаряется, а количество питательного вещества не меняется.

По условию, доля влаги в винограде — 90%. Поэтому доля питательного вещества в винограде составляет

100% − 90% = 10%.

Доля влаги в изюме — 5%. Поэтому доля питательного вещества в изюме составляет

100% − 5% = 95%.

2. Один процент от числа — это $\text{[math]}$ . Поэтому 82 кг изюма содержат

$\text{[math]}$ % $\text{[math]}$ (кг) питательного вещества.

Выясним, какая масса винограда содержит столько же килограммов питательного вещества. Для этого разделим массу питательного вещества на долю, которую вещество занимает в винограде:

Таким образом, для получения 82 кг изюма требуется 779 кг винограда.

Ответ: 779.

Тема 11. Текстовые задачи

Доступ к этому разделу пока ограничен

Есть два варианта, как поступить: