www.abcege.ru - Разбор заданий

Задание 1 Прямоугольный параллелепипед

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

Пояснение

Обозначим ребро исходного куба через a. Тогда площадь одной его грани (любой) равна $\text{[math]}$ У куба 6 граней, поэтому площадь поверхности равна $\text{[math]}$ После увеличения ребра куба на 1 его ребро стало равно a+1; повторяя наши рассуждения, имеем, что площадь поверхности нового куба равна $\text{[math]}$ Исходя из условия составим уравнение:

$\text{[math]}$

И решим его:

$\text{[math]}$

Ответ: 4.

Задание 1 Призма

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота — 10.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Боковая поверхности правильной шестиугольной призмы состоит из шести одинаковых прямоугольных граней (прямоугольники они в силу того, что правильная призма является прямоугольной, а одинаковые они из-за того, что в основании лежат два равных правильных шестиугольника). Площадь каждой грани равна $\text{[math]}$ а общая площадь боковой поверхности - $\text{[math]}$

Ответ: 300.

Задание 1 Пирамида

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей 6 треугольников, составляющих боковую поверхность; так как пирамида правильная, то они все равны. Для вычисления площади одного треугольника (его стороны равны 13, 13 и 10) воспользуемся формулой Герона: находим полупериметр: $\text{[math]}$

и площадь:

$\text{[math]}$

Площадь всей боковой поверхности равна $\text{[math]}$

Ответ: 360.

Задание 1 Элементы составных многогранников

Найдите угол $\text{[math]}$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Рассмотрим треугольник $\text{[math]}$ Заметим, что $\text{[math]}$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $\text{[math]}$ и потому $\text{[math]}$ Далее отметим, что AC также является гипотенузой такого же треугольника (AB отмечено, а $\text{[math]}$ угол ABC прямой по условию) и потому $\text{[math]}$ Аналогично с $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ).

Таким образом,

$\text{[math]}$

то есть треугольник $\text{[math]}$ - равносторонний; у таких треугольников все углы равны $\text{[math]}$

Ответ: 60.

Задание 1 Площадь поверхности составного многогранника

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Достроим фигуру до прямоугольного параллелепипеда.

По сравнению со старой фигурой исчезли закрашенные красным "впадающие" грани фигуры, зато появилась новые дополнительные площади, отмеченные зелёным. Красные грани представляют из себя три прямоугольника $\text{[math]}$ новая зелёная площадь - один прямоугольник $\text{[math]}$ и два квадрата $\text{[math]}$ Таким образом, после дополнения до прямоугольного параллелепипеда площадь поверхности уменьшилась на $\text{[math]}$ а увеличилась на $\text{[math]}$ В сумме получаем, что площадь прямоугольного параллелепипеда на 2 + 8 - 6=4 больше, чем площадь поверхности исходной фигуры.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется как сумма площадей образующих его прямоугольников-граней: $\text{[math]}$ Площадь исходной поверхности в соответствии с предыдущим абзацем равна 92.

Ответ: 92.

Задание 1 Объем составного многогранника

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Как видно из иллюстрации ниже,

объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов с ребрами 2, 3, 2 (красный) и 1, 3, 4 (зелёный):

$\text{[math]}$

Ответ: 24.

Задание 1 Комбинации тел

В куб вписан шар радиуса 1. Найдите объем куба.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Рассмотрим сечение чертежа плоскостью, проходящей через центр окружности параллельно плоскости ABCD. В нём имеем квадрат (со сторонами равными длине стороны куба) и вписанную в него окружность радиусом 1. Таким образом, сторона квадрата равна 2, а следовательно, и сторона куба тоже равна 2. По формуле объёма куба ( $\text{[math]}$ где a - сторона) имеем V=8.

Ответ: 8.

Задание 1 Цилиндр

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 2 раза больше первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

По формуле объёма цилиндра, $\text{[math]}$ где h - высота цилиндра, а S - площадь основания. Формула площади окружности через её радиус: $\text{[math]}$ или, если выразить через диаметр $\text{[math]}$ получаем: $\text{[math]}$ Итоговая формула для объёма

$\text{[math]}$

По условию нам требуется найти высоту цилиндра, у которого диаметр в два раза больше, а объём тот же. Обозначим высоту цилиндра через x и напишем объём нового цилиндра:

$\text{[math]}$

Приравняем два полученных равенства и выразим x через h:

$\text{[math]}$

Таким образом, высота нового цилиндра в четыре раза меньше высоты старого. Высота старого по условию равна 16 см, поэтому ответ - 4 см.

Ответ: 4.

Задание 1 Конус

Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите $\text{[math]}$ .

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Угол в $\text{[math]}$ составляет $\text{[math]}$ от угла в $\text{[math]}$ Следовательно, оставшийся угол в $\text{[math]}$ является $\text{[math]}$ от полного. Соответствующим образом соотносятся и объёмы конуса и выделенной части. По формуле объёма конуса $\text{[math]}$ Подставляя значения для r и h, получаем:

$\text{[math]}$

Нам требуется $\text{[math]}$ от этой площади:

$\text{[math]}$

Ответ: 243

Задание 1 Шар

Площадь большого круга шара равна 1. Найдите площадь поверхности шара.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Пусть R - радиус шара. Тогда это также радиус большого круга. По формуле площади круга $\text{[math]}$ С другой стороны, по формуле площади поверхности шара $\text{[math]}$ Заметим, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади большого круга. Следовательно, искомая площадь равна 4.

Ответ: 4.

Задание 2 Прямоугольный параллелепипед

Диагональ куба равна $\text{[math]}$ . Найдите его объем.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Рассмотрим произвольный куб $\text{[math]}$ с ребром a; выразим диагональ куба $\text{[math]}$ через ребро AB. Действительно, по теореме Пифагора, $\text{[math]}$ (так как $\text{[math]}$ ). Далее: $\text{[math]}$ перпендикулярна плоскости ABCD, значит, в частности, $\text{[math]}$ Применяя вторично теорему Пифагора для $\text{[math]}$ имеем: $\text{[math]}$ Итак, диагональ куба в $\text{[math]}$ раз больше его ребра. Пользуясь этим и условием задачи, найдём длину ребра:

$\text{[math]}$

Зная длину ребра, находим объём куба по формуле: $\text{[math]}$

Ответ: 1000.

Задание 2 Призма

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен $\text{[math]}$ , а высота равна 2.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Рассмотрим грань ABC призмы $\text{[math]}$

Мы имеем равносторонний треугольник, в который вписана окружность радиуса $\text{[math]}$ Обозначим сторону этого треугольника через a и найдём её. В равностороннем треугольнике медианы совпадают с высотами и совпадают с биссектрисами; поэтому центр вписанной окружности O равностороннего треугольника лежит на пересечении медиан. Медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины, из которой она проведена; кроме того, $\text{[math]}$ значит,

$\text{[math]}$

Наконец, воспользуемся тем, что AM - высота, и по теореме Пифагора выразим AM через a:

$\text{[math]}$

Сведя получившиеся два равенства вместе, получаем:

$\text{[math]}$

Таким образом, мы нашли сторону основания призмы.

Площадь боковой поверхности правильной призмы равна $\text{[math]}$

Ответ: 36.

Задание 2 Пирамида

Объем параллелепипеда $\text{[math]}$ равен 1,5. Найдите объем треугольной пирамиды $\text{[math]}$ .

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Заметим, что высоты параллелепипеда и пирамиды совпадают (так как проводятся из одной и той же точки к одной и той же плоскости). Далее, пользуясь формулами объёма для параллелепипеда и пирамиды, получаем:

$\text{[math]}$

Так как ABCD - параллелограмм, имеем:

$\text{[math]}$

Из полученных равенств заключаем, что объём пирамиды в 6 раз меньше объёма параллелепипеда (площадь основания в 2 раза меньше, объёмы пирамиды и параллелепипеда с равными основаниями и высотами относятся как 1:3), то есть равен 0,25.

Ответ: 0,25.

Задание 2 Элементы составных многогранников

Найдите тангенс угла $\text{[math]}$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Рассмотрим треугольник $\text{[math]}$ Из условия следует, что он прямоугольный с прямым углом $\text{[math]}$ Поэтому по определению тангенса

$\text{[math]}$

Из чертежа $\text{[math]}$ а так как $\text{[math]}$ - квадрат, то $\text{[math]}$ Отсюда заключаем, что $\text{[math]}$

Ответ: 1.

Задание 2 Площадь поверхности составного многогранника

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда $\text{[math]}$ равна сумме площадей составляющих его прямоугольников: $\text{[math]}$ Для получения площади искомой поверхности заметим, что из поверхности параллелепипеда вырезаны спереди и сзади два прямоугольника $\text{[math]}$ а "просвет" состоит из двух граней размером $\text{[math]}$ и двух граней размером $\text{[math]}$ Итого от нашей площади отнимается $\text{[math]}$ а прибавляется $\text{[math]}$ Искомая площадь поверхности равна 120 -4 + 12 = 128.

Ответ: 128.

Задание 2 Объем составного многогранника

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Как видно из чертежа, объем данного многогранника равен разности объемов параллелепипедов со сторонами 1, 8, 6 и 1, 3, 1:

$\text{[math]}$

Ответ: 45.

Задание 2 Комбинации тел

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 25.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

По формуле объема цилиндра

$\text{[math]}$

где S - площадь основания, а h - высота. В то же время объем конуса:

$\text{[math]}$

(обозначения те же). Поскольку они имеют общее основание и высоту, объем цилиндра в три раза больше объема конуса.

Ответ: 75.

Задание 2 Цилиндр

Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите $\text{[math]}$ .

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Очевидно, что объём искомой части в 4 раза меньше, чем объём всего цилиндра ( $\text{[math]}$ Объём цилиндра найдём по формуле $\text{[math]}$ где h - высота цилиндра, r - радиус основания. Из чертежа видно, что h = 5, r = 6, поэтому:

$\text{[math]}$

Нам требуется четверть от этого объёма, то есть $\text{[math]}$ По условию задачи этот объём нужно сократить на $\text{[math]}$ поэтому ответ 45.

Ответ: 45.

Задание 2 Конус

Длина окружности основания конуса равна 7, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

По формуле площади боковой поверхности конуса, $\text{[math]}$ где R - радиус окружности основания, l - образующая. Воспользуемся формулой длины окружности $\text{[math]}$ тогда площадь боковой поверхности можно записать как

$\text{[math]}$

По условию C = 7, l = 2, следовательно,

$\text{[math]}$

Ответ: 7

Задание 2 Шар

Радиусы трех шаров равны 1, 6 и 8. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Разбор задания Свернуть

Пусть R - радиус искомого шара. По формуле объёма шара $\text{[math]}$ Подставляя в эту формулу последовательно R = 1, R = 6 и R=8 и складывая получившиеся объёмы, найдём объём того шара, радиус которого нам надо найти:

$\text{[math]}$

Решим уравнение на R, снова воспользовавшись формулой объёма:

$\text{[math]}$

Ответ: 9.

Задание 3 Прямоугольный параллелепипед

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Обозначим длину третьего ребра параллелепипеда через x.

Тогда имеем:
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Общая площадь поверхности равна сумме всех выраженных площадей. По условию задачи она равна 16, то есть:

$\text{[math]}$

Отсюда:
$\text{[math]}$
Диагональ параллелепипеда вычисляем, дважды применяя теорему Пифагора:
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Ответ: 3.

Задание 3 Призма

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен $\text{[math]}$ , а высота равна 2.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Рассмотрим нижнюю грань призмы; в ней мы имеем правильный шестиугольник ABCDEF, в который вписана окружность с центром O и радиусом $\text{[math]}$ .

Обозначим сторону шестиугольника через a и найдём её. Для правильного шестиугольника имеем OA=OB=AB, а

$\text{[math]}$

, где OH - высота, проведённая к стороне AB. Высота в правильном треугольнике совпадает с медианой; выразим её через a по теореме Пифагора:

$\text{[math]}$

Комбинируя полученные равенства, получаем:

$\text{[math]}$

Наконец, вычисляем площадь боковой поверхности призмы по формуле: $\text{[math]}$ где h - высота (h=2), P - периметр ( $\text{[math]}$ ). После перемножения получаем 24.

Ответ: 24.

Задание 3 Пирамида

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в шестнадцать раз?

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому, если все ребра увеличить в 16 раз, объём увеличится в 4096 раз.

Ответ: 4096.

Задание 3 Элементы составных многогранников

Найдите квадрат расстояния между вершинами E и $\text{[math]}$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Рассмотрим треугольник $\text{[math]}$ он прямоугольный с прямым углом C. Тогда по теореме Пифагора

$\text{[math]}$

по условию имеем:

$\text{[math]}$

Для нахождения CE воспользуемся ещё раз теоремой Пифагора для треугольника CDE с прямым углом D: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Следовательно,

$\text{[math]}$

Складывая два получившихся результата, получаем ответ: $\text{[math]}$

Ответ: 53.

Задание 3 Комбинации тел

Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Радиусы шара и основания цилиндра равны. Площадь поверхности цилиндра с радиусом основания r и высотой 2r равна

$\text{[math]}$

С другой стороны, площадь поверхности шара радиуса r равна

$\text{[math]}$

Сравнение этих двух формул говорит нам, что площадь поверхности шара в 1,5 раза меньше площади поверхности цилиндра. По условию площадь поверхности цилиндра равна 18, таким образом, площадь поверхности шара равна $\text{[math]}$

Ответ: 12.

Задание 3 Цилиндр

Площадь боковой поверхности цилиндра равна $\text{[math]}$ , а диаметр основания — 8. Найдите высоту цилиндра.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле $\text{[math]}$ Выразим радиус как половину диаметра:

$\text{[math]}$

По условию d = 8, а $\text{[math]}$ Подставим это в формулу и решим уравнение относительно h:

$\text{[math]}$

Ответ: 2.

Задание 3 Конус

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 116. Найдите объем конуса.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Запишем формулу для объёма шара: $\text{[math]}$ (последнее равенство - по условию) и формулу для объёма конуса: $\text{[math]}$ где R - радиус основания конуса (совпадающий с радиусом шара), h - длина образующей. Заметим, что, так как конус вписан в шар, то h=R. Отсюда

$\text{[math]}$

(второе равенство возникает при сравнении получившихся формул объёма шара и конуса).

Ответ: 29

Задание 3 Шар

Куб вписан в шар радиуса $\text{[math]}$ . Найдите объем куба.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Заметим, что для куба, вписанного в шар, главная диагональ (например, $\text{[math]}$ совпадает с диаметром шара. Диаметр вдвое больше радиуса, поэтому главная диагональ куба равна $\text{[math]}$ Обозначим сторону куба через a и вычислим $\text{[math]}$ Действительно, по теореме Пифагора $\text{[math]}$ (так как $\text{[math]}$ Далее: $\text{[math]}$ перпендикулярна плоскости ABCD, значит, в частности, $\text{[math]}$ Применяя вторично теорему Пифагора для $\text{[math]}$ имеем: $\text{[math]}$

Получаем, что

$\text{[math]}$

Итак, сторона куба равна 13; по формуле объёма куба $\text{[math]}$

Ответ: 2197.

Задание 4 Прямоугольный параллелепипед

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $\text{[math]}$ прямоугольного параллелепипеда $\text{[math]}$ , у которого $\text{[math]}$ .

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Искомый многогранник является пирамидой; его высота, проведённая из $\text{[math]}$ к нижней грани, совпадает с $\text{[math]}$ (так как $\text{[math]}$ перпендикулярен нижней грани). При этом $\text{[math]}$ Далее, ABC - прямоугольный треугольник, то есть площадь основания по формуле площади прямоугольного треугольника равна

$\text{[math]}$ По формуле объёма пирамиды получаем ответ:

$\text{[math]}$

Ответ: 75.

Задание 4 Пирамида

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 8, а объем равен $\text{[math]}$

Разбор задания Свернуть

Пояснение

По формуле объёма пирамиды $\text{[math]}$ . Площадь основания S выражается через сторону равностороннего треугольника a по формуле $\text{[math]}$ (эту формулу можно получить, например, по формуле Герона или проведя высоту, совпадающую с медианой, и вычислив площадь по формуле $\text{[math]}$ ). Получаем уравнение на $h$, которое несложно решить:

$\text{[math]}$

Ответ: 0,75.

Задание 4 Цилиндр

Объем первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

По формуле объёма цилиндра объём первого равен $\text{[math]}$ объём второго — $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ — радиусы оснований цилиндров, $\text{[math]}$ — их высоты. Нам известно, что $\text{[math]}$ а $\text{[math]}$ Подставляя эти значения в формулу для $\text{[math]}$ получаем:

$\text{[math]}$

По условию $\text{[math]}$ поэтому $\text{[math]}$

Ответ: 9.

Задание 4 Конус

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\text{[math]}$ высоты. Объём жидкости равен 54 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Исходя из чертежа видно, что меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем большего конуса в 8 раз больше объема меньшего конуса, он равен $\text{[math]}$ мл. Следовательно, необходимо долить $\text{[math]}$ мл жидкости.

Ответ: 378

Задание 4 Шар

Шар, объём которого равен $\text{[math]}$ , вписан в куб. Найдите объём куба.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

По формуле объёма шара $\text{[math]}$ (по условию). Отсюда

$\text{[math]}$

(для удобства вычислений мы нашли не R, а $\text{[math]}$ Далее, так как шар вписан в куб, то ребро куба совпадает по длине с диаметром шара (для доказательства проведём сечение плоскостью $\text{[math]}$ в нём имеем прямоугольник $\text{[math]}$ и окружность, касающуюся стороны AC в точке N и стороны $\text{[math]}$ в точке M; очевидно, что $\text{[math]}$

Поэтому a = 2R, где a - длина стороны куба. По формуле объёма куба $\text{[math]}$ Подставляя полученное значение для $\text{[math]}$ имеем:

$\text{[math]}$

Ответ: 210.

Задание 5 Прямоугольный параллелепипед

Найдите угол $\text{[math]}$ прямоугольного параллелепипеда $\text{[math]}$ , для которого $\text{[math]}$ . Ответ дайте в градусах.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Рассмотрим грань $\text{[math]}$ она является прямоугольником; по теореме Пифагора находим, что

$\text{[math]}$

(для второго равенства мы воспользовались тем, что в прямоугольнике $\text{[math]}$ ).

Далее заметим, что $\text{[math]}$ а также $\text{[math]}$ является перпендикуляром к плоскости $\text{[math]}$ а $\text{[math]}$ значит, по теореме о трёх перпендикулярах $\text{[math]}$ Итак, $\text{[math]}$ - прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом A, следовательно, $\text{[math]}$

Ответ: 45.

Задание 5 Призма

Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 4 и острым углом $\text{[math]}$ . Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в $\text{[math]}$ и равно 6. Найдите объем параллелепипеда.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Объём параллелепипеда вычисляется по формуле $\text{[math]}$ где h - длина высоты, а S - площадь основания. Для вычисления высоты опустим её из вершины $\text{[math]}$ Тогда в прямоугольном треугольнике $\text{[math]}$ имеем:

$\text{[math]}$

то есть h=3. Для вычисления площади основания воспользуемся тем, что ABCD - ромб, поэтому $\text{[math]}$ (сторона-угол-сторона), следовательно,

$\text{[math]}$

(в предпоследнем равенстве мы воспользовались формулой площади треугольника как полупроизведение сторон на синус угла между ними). Перемножая полученные результаты для площади и высоты, получаем 24.

Ответ: 24.

Задание 6 Призма

В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 15 и отстоит от других боковых ребер на 8 и 15. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Для поиска площади боковой поверхности призмы воспользуемся формулой $\text{[math]}$ где P - периметр перпендикулярного сечения, а l - длина бокового ребра.

Боковые грани перпендикулярны, следовательно, перпендикулярное сечение представляет из себя прямоугольный треугольник NMP; расстояния до рёбер равны 8 и 15, следовательно, катеты этого треугольника в сечении тоже равны 8 и 15. Вычислим гипотенузу MP: $\text{[math]}$

Вычисляем периметр:

$\text{[math]}$

Отсюда

$\text{[math]}$

Ответ: 600.

Задание 6 Пирамида

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 18, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

По формуле объёма призмы, $\text{[math]}$ , где h - высота призмы, S - площадь основания. Высота у обеих призм одна и та же; для вычисления площади основания рассмотрим плоскость ABC. В ней по определениию средней линии $\text{[math]}$ . Тогда:

$\text{[math]}$

Таким образом, площадь основания новой призмы в 4 раза меньше площади основания старой, а вместе с ним и объём. Пользуясь данным объёмом старой призмы, получаем $\text{[math]}$

Ответ: 4,5.

Задание 7 Призма

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $\text{[math]}$ правильной треугольной призмы $\text{[math]}$ , площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 5.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Заметим, что призма состоит из многогранника, объём которого нам надо найти, и пирамиды $\text{[math]}$ Таким образом, искомый объём S выражается как разность объёмов призмы и пирамиды:

$\text{[math]}$

Объём призмы вычисляется как произведение высоты на основание. Так как призма правильная, то высота совпадает с боковым ребром, поэтому

$\text{[math]}$

Объём пирамиды, в свою очередь, равен одной трети произведения высоты на площадь основания. Высота пирамиды совпадает с высотой призмы, поэтому

$\text{[math]}$

Отсюда заключаем, что S=10.

Ответ: 10.

Задание 7 Пирамида

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 27. Найдите объем пирамиды.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Пусть в треугольной пирамиде SABC рёбра SA, SC и SB взаимно перпендикулярны. Тогда заметим, что SC перпендикулярно плоскости SAB (так как перпендикулярно двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости); значит, можно рассматривать пирамиду SABC как пирамиду с высотой SC и основанием SAB. По формуле площади пирамиды $\text{[math]}$ , где h - высота, а S - площадь основания. Нам известно:

$\text{[math]}$

Площадь основания вычислим по формуле площади прямоугольного треугольника (полупроизведение катетов):

$\text{[math]}$

Окончательно выводим:

$\text{[math]}$

Ответ: 3280,5.

Задание 8 Призма

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $\text{[math]}$ правильной шестиугольной призмы $\text{[math]}$ , площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 6.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Искомый многогранник является четырёхугольной прямоугольной призмой, следовательно, его объём равен произведению высоты на основание. Длину высоты мы уже знаем из условия, она совпадает с длиной бокового ребра; остётся найти площадь основания.

Обозначим сторону основания через a. Сумма углов шестиугольника равна $\text{[math]}$ каждый из углов равен $\text{[math]}$ Тогда $\text{[math]}$ (теорема косинусов), $\text{[math]}$ (так как BCEF - прямоугольник). С другой стороны, $\text{[math]}$ (площадь треугольника через полупроизведение сторон на синус угла между ними). Итого площадь основания шестиугольной призмы:

$\text{[math]}$

(последнее равенство получено по условию задачи).

Площадь основания четырёхугольной призмы была вычислена ранее:

$\text{[math]}$

Перемножая высоту на найденную площадь основания, получаем:

$\text{[math]}$

Ответ: 28.

Задание 8 Пирамида

Объем треугольной пирамиды равен 38. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 9:10, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Проведём высоты SH и $\text{[math]}$ к основанию ABC. По формуле площади пирамиды $\text{[math]}$ , где h - высота, а S - площадь основания. У пирамид SABC и S'ABC общее основание (и, следовательно, площадь основания одинакова), для сравнения высот рассмотрим плоскость SBH.

В ней $\text{[math]}$ , следовательно, $\text{[math]}$ (по трём углам). Отсюда

$\text{[math]}$

то есть высоты соотносятся как 10:19. Таким образом,

$\text{[math]}$

Объём второй пирамиды равен соответственно 38-20=18. 20>18, поэтому получаем

Ответ: 20

Задание 9 Пирамида

Рёбра тетраэдра равны 38. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырёх его рёбер.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

Рассмотрим произвольную грань, например ABC. Тогда в ней для NM по теореме о средней линии выполняется:

$\text{[math]}$

Аналогичные соотношения выполняются для остальных сторон в сечении. Значит, они все между собой равны 19 (= $\text{[math]}$ ), то есть NMPQ - ромб. Кроме того, в правильном тетраэдре скрещивающиеся ребра перпендикулярны, поэтому этот же четырёхугольник является прямоугольником (стороны сечения параллельны рёбрам тетраэдра). Прямоугольник и ромб - это квадрат; следовательно, его площадь находится как произведение сторон: $\text{[math]}$ .

Ответ: 361

Задание 10 Пирамида

Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 7.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

По формуле площади пирамиды, $\text{[math]}$ , где h - высота, а S - площадь основания. По условию задачи боковое ребро длиной 5 является высотой пирамиды, то есть

$\text{[math]}$

осталось найти площадь основания. Основание (см. чертёж основания, зелёный цвет)

представляет из себя прямоугольник $\text{[math]}$ , из которого вырезали прямоугольник $\text{[math]}$ . Площадь основания вычисляется как разность площадей прямоугольников:

$\text{[math]}$

Окончательно вычисляем объём: $\text{[math]}$

Ответ: 15

Тема 8. Стереометрия

Доступ к этому разделу пока ограничен

Есть два варианта, как поступить: