www.abcege.ru - Разбор заданий

Задание 1 Прямоугольный треугольник: вычисление углов

В треугольнике ABC угол C равен 90◦, AB = 20, AC = 10√3.

Найдите sin A.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Синусом угла прямоугольного треугольника называют отношение проти- волежащего углу катета к гипотенузе. Поэтому

$\text{[math]}$

2. По теореме Пифагора $\text{[math]}$

Поэтому $\text{[math]}$

По условию AB = 20, AC = 10√3:

Ответ: 0,5.

Задание 1 Прямоугольный треугольник: вычисление внешних углов

В треугольнике ABC угол C равен 90◦, $\text{[math]}$

Найдите синус внешнего угла при вершине B.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Синусом угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего углу катета к гипотенузе. Поэтому

$\text{[math]}$ BC}{AB}

В следующих равенствах символом B будем обозначать внутренний угол при вершине B.
Косинусом угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего углу катета к гипотенузе. Поэтому

$\text{[math]}$ BC}{AB}=sinA

2. Для синуса и косинуса угла выполнено основное тригонометрическое тождество:

$\text{[math]}$

Вычтем из обеих частей равенства $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Выразим sin B:

$\text{[math]}$

Так как угол B является углом прямоугольного △ABC, то sin B > 0.

$\text{[math]}$

Так как cosB = sinA, то $\text{[math]}$

3. Заметим, что внешний угол треугольника при вершине B имеет величину 180◦ − B.
Требуется найти синус внешнего угла при вершине B. По формуле приведения sin(180◦ − B) = sin B. Поэтому будем искать sin B.

По условию $\text{[math]}$ Тогда

Ответ: 0,4.

Задание 1 Прямоугольный треугольник: вычисление элементов

В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, AC = 17, $\text{[math]}$ Найдите BC.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Рассмотрим тангенс угла A. Тангенсом угла прямоугольного треугольника
называют отношение противолежащего углу катета к прилежащему, поэтому

$\text{[math]}$

Тангенс угла A можно также вычислить по формуле

$\text{[math]}$

Воспользуемся равенством

$\text{[math]}$

и, умножив обе части равенства на AC, выразим искомую длину BC:

$\text{[math]}$

2. Для синуса и косинуса угла выполнено основное тригонометрическое тождество:

$\text{[math]}$

Вычтем из обеих частей равенства $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Выразим $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Так как угол A является углом прямоугольного $\text{[math]}$ , то $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

По условию $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

3. По условию AC=17. Подставим AC, sinA и cosA в выражение для BC,
полученное в пункте 1:

$\text{[math]}$

Ответ: 34.

Задание 1 Равнобедренный треугольник: вычисление элементов

В треугольнике ABC AC = BC = 5, $\text{[math]}$ .

Найдите AB.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Отметим, что △ABC — равнобедренный по условию (AC = BC = 5). По- строим высоту CH. Так как △ABC — равнобедренный, точка H делит основание AB пополам:

$\text{[math]}$

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Косинусом угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего углу катета к гипотенузе:

$\text{[math]}$

Домножим обе части равенства на AC:

$\text{[math]}$

Выразим AB, умножив обе части равенства на 2:

$\text{[math]}$

2. Для синуса и косинуса угла выполнено основное тригонометрическое тождество:

$\text{[math]}$

Вычтем из обеих частей равенства $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Выразим cos A:

$\text{[math]}$

Так как угол A является углом прямоугольного △ACH, то cos A > 0.

$\text{[math]}$

По условию $\text{[math]}$

3. Подставим значения $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ в выражение для AB:

$\text{[math]}$

Ответ: 6.

Задание 1 Треугольники общего вида

Один из внешних углов треугольника равен $\text{[math]}$ . Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 1 : 2. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Построим треугольник ABC, положив, что внешний угол = $\text{[math]}$ Тогда по условию для внутренних углов треугольника должно быть верно соотношение

∠C : ∠A = 1 : 2.

Из соотношения видно, что ∠A — больший угол, его нам и требуется найти.

2. Заметим, что сумма внутренних углов треугольника равна развернутому углу:

∠A+∠B+∠C = $\text{[math]}$

Внутренний и внешний углы B в сумме дают развернутый угол, то есть

+ ∠B = $\text{[math]}$

Поэтому можно утверждать, что

∠A+∠B+∠C = +∠B.

Вычтем ∠B:

∠A + ∠C = .

3. Из пункта 1 выполнено соотношение:

$\text{[math]}$

Выразим ∠C, домножив обе части равенства на ∠A:

$\text{[math]}$

4. Подставим последнее выражение в формулу

∠A + ∠C = .

$\text{[math]}$

Выразим ∠A, умножив обе части равенства на $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Ответ: 32.

Задание 1 Трапеция

Большее основание равнобедренной трапеции равно 12. Боковая сторона равна 5. Синус острого угла равен 0,8. Найдите меньшее основание.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Назовем трапецию ABCD, причем AB = 12, BC = 5. Острые углы равнобокой трапеции образуются при большем основании, поэтому

sinA = sinB = 0,8.

Требуется найти основание CD.

2. Построим высоты трапеции CE и DF. Заметим, что DCEF — параллелограмм (DC ∥ EF по условию, DF ∥ CE как перпендикуляры к одной прямой, значит DCEF — параллелограмм по определению). Поэтому его противоположные стороны равны: DC = EF.

3. △CEB — прямоугольный c прямым углом E. Синусом угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего углу катета к гипотенузе. Поэтому

$\text{[math]}$ sinB=\frac{CE}{BC}.

Домножив обе части равенства на BC, выразим CE:

CE = BC · sin B.

Подставим BC = 5, sin B = 0,8:

CE = 0,8 · 5 = 4.

По теореме Пифагора

$\text{[math]}$ BE^{2}+CE^{2}=BC^{2}.

Вычтем из обеих частей равенства $\text{[math]}$ CE^{2}:

$\text{[math]}$ BE^{2}=BC^{2}-CE^{2}=5^{2}-4^{2}=25-16=9.

Отсюда, так как BE > 0,

BE = 3.

4. △CEB = △DFA по признаку равенства прямоугольных треугольников (катет и гипотенуза: AD = BC по условию, DF = CE как противоположные стороны параллелограмма DCEF). Поэтому

AF = BE = 3.

5. Заметим, что

AB = AF+FE+EB,

значит

FE = AB−AF−EB.

Подставим значения AB = 12, AF = BE = 3:

FE = 12 − 3 − 3 = 6.

6. Из пункта 2

DC = EF.

Значит

DC = 6.

Ответ: 6.

Задание 1 Параллелограмм, прямоугольник, ромб

Меньшая сторона прямоугольника равна 6, диагонали пересекаются под углом $\text{[math]}$ Найдите диагонали прямоугольника.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Назовем прямоугольник ABCD, для определенности положив, что меньшая сторона AD = 6. Диагонали AC и BD требуется найти.
Пусть O — точка пересечения диагоналей.
Диагонали прямоугольника равны, поэтому

AC = BD.

Прямоугольник — это вид параллелограмма, поэтому его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, с учетом равенства диагоналей,

AO = DO = CO = BO.

2. По условию, диагонали пересекаются под углом $\text{[math]}$ значит либо

$\text{[math]}$ AOD=\angle BOC=60^{o},

$\text{[math]}$ DOC=\angle AOB=60^{o},

Заметим, что меньший угол между диагоналями параллелограмма находится напротив меньшей стороны параллелограмма, а поэтому

$\text{[math]}$ AOD=\angle BOC=60^{o},

3. △AOD — равнобедренный (AO = DO), значит углы при основании AD равны:

∠ODA = ∠DAO.

Сумма углов треугольника равна развернутому углу, поэтому

$\text{[math]}$ AOD+\angle ODA+\angle DAO=180^{o}.

$\text{[math]}$ ODA=180^{o}.

Вычтем из обеих частей равенства $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ODA=180^{o}-60^{o}.

$\text{[math]}$ ODA=120^{o}.

$\text{[math]}$ ODA=60^{o}.

Таким образом

$\text{[math]}$ ODA=\angle DAO=\angle AOD=60^{o},

то есть △AOD — равносторонний:

DO = AO = AD.

4. Так как AD = 6, то

AO = DO = CO = BO = 6.

BD = AC = AO + CO = 6 + 6 = 12.

Ответ: 12.

Задание 1 Равнобедренный треугольник: вычисление углов

В треугольнике ABC AC = BC = 20, AB = 10. Найдите cos A.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Отметим, что △ABC — равнобедренный по условию (AC = BC = 20). Построим высоту CH. Так как △ABC — равнобедренный, точка H делит основание AB пополам:

$\text{[math]}$

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Косинусом угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего углу катета к гипотенузе:

$\text{[math]}$

По условию AB = 10, AC = 20. Подставим эти значения в формулу для cos A:

$\text{[math]}$

Ответ: 0,25.

Задание 2 Прямоугольный треугольник: вычисление внешних углов

В треугольнике ABC угол C равен 90◦, sin A = 0,48.

Найдите косинус внешнего угла при вершине B.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Синусом угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего углу катета к гипотенузе. Поэтому

$\text{[math]}$

В следующих равенствах символом B будем обозначать внутренний угол при вершине B.
Косинусом угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего углу катета к гипотенузе. Поэтому

$\text{[math]}$

2. Заметим, что внешний угол треугольника при вершине B имеет величину 180◦ − B.
Требуется найти косинус внешнего угла при вершине B. По формуле приведения

cos(180◦ − B) = − cos B.

Поэтому будем искать − cos B.

По условию sin A = 0,48. Тогда −cosB = −sinA = −0,48.

Ответ: −0,48.

Задание 2 Прямоугольный треугольник: вычисление элементов

В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, $\text{[math]}$ BC = 3, CH — высота. Найдите BH.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Синусом угла прямоугольного треугольника называют отношение проти-
волежащего углу катета к гипотенузе. Поэтому

$\text{[math]}$

Выразим из этого равенства AB:

$\text{[math]}$

По условию $\text{[math]}$ BC=3:

$\text{[math]}$

2. Рассмотрим треугольники ABC и CBH. Эти треугольники подобны (признак подобия по двум углам: $\text{[math]}$ ), поэтому их соответствующие стороны пропорциональны:

$\text{[math]}$

Подставим в последнее равенство AB=5, BC=3:

$\text{[math]}$

Домножим обе части равенства на BH:

$\text{[math]}$

Выразим BH, умножив обе части равенства на $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Ответ: 1,8.

Задание 2 Прямоугольный треугольник: вычисление углов

В треугольнике ABC угол C равен 90◦ , $\text{[math]}$ .

Найдите tg A.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Тангенс угла A можно вычислить по формуле

$\text{[math]}$

2. Для синуса и косинуса угла выполнено основное тригонометрическое тождество:

$\text{[math]}$

Вычтем из обеих частей равенства $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Выразим sin A:

$\text{[math]}$

Так как угол A является углом прямоугольного △ABC, то sin A > 0.

$\text{[math]}$

По условию $\text{[math]}$

3. Подставим значения sin A и cos A в формулу $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Ответ: 0,5.

Задание 2 Равнобедренный треугольник: вычисление элементов

В треугольнике ABC

AC = BC = 20,5,

$\text{[math]}$ .

Найдите высоту CH.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Рассмотрим △ACH. Он прямоугольный (по условию CH — высота). Синусом угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего углу катета к гипотенузе, поэтому

$\text{[math]}$

Домножим обе части равенства на AC и выразим CH:

$\text{[math]}$

2. Для синуса и косинуса угла выполнено основное тригонометрическое тождество:

$\text{[math]}$

Так как угол A — угол прямоугольного треугольника △ACH, то sin A > 0, cos A > 0.

Разделим обе части тригонометрического тождества на $\text{[math]}$ :

Выразим $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Отсюда

$\text{[math]}$

Для тангенса и котангенса угла выполнено соотношение

$\text{[math]}$

По условию $\text{[math]}$ поэтому

$\text{[math]}$

Подставим это значение в формулу для sin A:

3. Подставим значения AC = 20,5 и $\text{[math]}$ в выражение для CH:

$\text{[math]}$

Ответ: 20.

Задание 2 Треугольники общего вида

У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1.Построим треугольник ABC, положив, что AC = 9, B = 6. Пусть BH — высота, проведенная к стороне AC, AK — высота, проведенная к стороне BC.
По условию, BH = 4. Требуется найти AK.

2. Площадь треугольника можно вычислить как половину произведения ос- нования на высоту, поэтому:

$\text{[math]}$

Поэтому

$\text{[math]}$

Разделим обе части равенства на $\text{[math]}$

AC·BH = BC·AK.

Подставим AC = 9, B = 6, BH = 4:

9·4 = 6·AK.

Выразим AK, разделив обе части равенства на 6:

$\text{[math]}$

Ответ: 6.

Задание 2 Трапеция

Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Назовем трапецию ABCD, причем AB = 26, CD = 14. Построим также высоты трапеции DF и CE.
Заметим, что DCEF — параллелограмм (DC ∥ EF по условию, DF ∥ CE как перпендикуляры к одной прямой, значит DCEF — параллелограмм по определению). Поэтому его противоположные стороны равны: EF = CD = 14. Площадь трапеции можно найти как произведение полусуммы оснований на высоту:

$\text{[math]}$

2. Рассмотрим образованные высотами DF и CE прямоугольные треугольники ADF и BCE. DF = CE. AD = BC, так как трапеция равнобедренная. По признаку равенства прямоугольных треугольников (катет и гипотенуза)

△ADF = △BCE.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

Отметим, что

AF = BE.

AB = AF+FE+EB = AF+CD+AF = 2·AF+CD.

Подставим значения AB = 26, CD = 14:

26 = 2·AF+14.

Из обеих частей равенства вычтем 14: 26−14 = 2·AF.

2·AF = 12. Разделим обе части равенства на 2:

AF = 6.

3. Рассмотрим треугольник ADF. Он прямоугольный с прямым углом F. По теореме Пифагора:

$\text{[math]}$

Вычтем из обеих частей равенства $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

По условию AD = 10, из пункта 2 AF = 6:

$\text{[math]}$

DF > 0, как длина отрезка, поэтому:

DF = 8.

4. Подставим значения AB = 26, CD = 14, DF = 8 в формулу площади

$\text{[math]}$

Ответ: 160.

Задание 2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб

В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1 : 2, меньшая его сторона равна 57.

Найдите диагональ данного прямоугольника.

Разбор задания Свернуть

1. Назовем прямоугольник ABCD, для определенности положив, что меньшая сторона BC = 57. Диагонали прямоугольника равны, поэтому достаточно рассмотреть любую из них, например AC.
По условию диагональ делит угол в отношении 1 : 2. Отметим, что все углы прямоугольника одинаковы (равны прямому углу) и делятся диагоналями в одинаковом отношении, так как все треугольники, образованные каждой диагональю и соседними сторонами прямоугольника, равны (например △BAC = △DCA по трём сторонам, поэтому равны их соответствующие острые углы и отношения углов, образующих прямой угол, одинаковы: $\text{[math]}$ Рассмотрим, например, угол A.

$\text{[math]}$

Умножим обе части равенства на ∠DAC:

$\text{[math]}$

Кроме того,

$\text{[math]}$

Подставим выражение для ∠BAC:

$\text{[math]}$

Умножив обе части равенства на $\text{[math]}$ выразим ∠DAC:

$\text{[math]}$

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник BAC. Катет, лежащий напротив угла $\text{[math]}$ равен половине гипотенузы, поэтому

$\text{[math]}$

Умножив обе части равенства на 2, выразим AC:

2·BC = AC.

Подставим значение BC = 57:

AC = 2 · 57 = 114.

Ответ: 114.

Задание 2 Равнобедренный треугольник: вычисление углов

В треугольнике ABC

AC = BC, AH — высота, $\text{[math]}$

Найдите tg BAC.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Отметим, что △ABC — равнобедренный по условию (AC = BC), поэтому ∠BAC = ∠ABC = ∠ABH.

Из этого следует, что tg BAC = tg ABH.

Тангенсом угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего углу катета к прилежащему, поэтому

$\text{[math]}$

Таким образом

$\text{[math]}$

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора

$\text{[math]}$

Вычтем из обеих частей равенства $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Учтем, что AH > 0 и выразим AH:

$\text{[math]}$

По условию $\text{[math]}$ . Вычислим AH:

3. Вычислим tg BAC, подставив в формулу $\text{[math]}$

AH = 9, BH = 6:

$\text{[math]}$

Ответ: 1,5.

Задание 3 Прямоугольный треугольник: вычисление элементов

В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, $\text{[math]}$ BC = 3, CH — высота. Найдите AH.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Косинусом угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе. Поэтому

$\text{[math]}$

Выразим из этого равенства AH:

$\text{[math]}$

2. Рассмотрим треугольник ABC. Тангенсом угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего углу катета к прилежащему. Поэтому

$\text{[math]}$

Выразим из этого равенства AC:

$\text{[math]}$

3. Для синуса и косинуса угла выполнено основное тригонометрическое тождество:

$\text{[math]}$

Так как угол A — угол прямоугольного треугольника $\text{[math]}$ то $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ Разделим обе части тригонометрического тождества на $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Выразим $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Так как угол A — угол прямоугольного треугольника $\text{[math]}$ то $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

По условию $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

4. По условию BC=3. Подставим BC и $\text{[math]}$ в формулу

$\text{[math]}$

Подставим значение AC и $\text{[math]}$ в формулу

$\text{[math]}$

Ответ: 3,2.

Задание 3 Прямоугольный треугольник: вычисление внешних углов

В треугольнике ABC угол C равен 90◦ , $\text{[math]}$ .

Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. В следующих равенствах символом A будем обозначать внутренний угол при вершине A.
Тангенс угла A можно вычислить по формуле

$\text{[math]}$

2. Для синуса и косинуса угла выполнено основное тригонометрическое тож- дество:

$\text{[math]}$

Так как угол A — угол прямоугольного треугольника △ABC, то sin A > 0, cos A > 0.

Разделим обе части тригонометрического тождества на cos2 A:

Выразим $\text{[math]}$

3. Заметим, что внешний угол треугольника при вершине A имеет величину 180◦ − A. Требуется найти косинус внешнего угла при вершине A. По формуле приведения cos(180◦ − A) = − cos A.

Поэтому будем искать − cos A.

По условию $\text{[math]}$

Ответ: −0,3.

Задание 3 Прямоугольный треугольник: вычисление углов

В треугольнике ABC угол C равен 90◦ , $\text{[math]}$

Найдите tg A.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Тангенс угла A можно вычислить по формуле

$\text{[math]}$

2. Для синуса и косинуса угла выполнено основное тригонометрическое тождество:

$\text{[math]}$

Вычтем из обеих частей равенства $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Выразим sin A:

$\text{[math]}$

Так как угол A является углом прямоугольного △ABC, то sin A > 0.

$\text{[math]}$

По условию $\text{[math]}$

3. Подставим значения sin A и cos A в формулу $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Ответ: 0,8.

Задание 3 Треугольники общего вида

Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 21 и 2, а угол между ними равен $\text{[math]}$ .

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Построим треугольник ABC, положив, что угол A = $\text{[math]}$ AC = 21, AB = 2.

Площадь △ABC можно вычислить по формуле:

$\text{[math]}$

Отметим, что A = $\text{[math]}$ — это «табличный» угол,

$\text{[math]}$

Подставим значения AC, AB и sin A в формулу площади:

$\text{[math]}$

Ответ: 10,5.

Задание 3 Трапеция

Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 1 и 7, большая боковая сторона составляет с основанием угол $\text{[math]}$ .

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Назовем трапецию ABCD, положив A = $\text{[math]}$ B = $\text{[math]}$ AB = 7, CD = 1.

Построим также высоту трапеции CH.

Площадь трапеции можно найти как произведение полусуммы оснований на высоту:

$\text{[math]}$

2. Заметим, что CDAH — параллелограмм (CD ∥ AH по условию, DA ∥ CH как перпендикуляры к одной прямой, значит CDAH — параллелограмм по определению). Поэтому его противоположные стороны равны:

CD = AH = 1.
HB = AB − AH = 7 − 1 = 6.

3. △BCH — прямоугольный с прямым углом H и острым углом B = $\text{[math]}$ Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу:

$\text{[math]}$

Вычтем из обеих частей равенства $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Таким образом в прямоугольном треугольнике BCH выполнено равенство ∠B = ∠C и поэтому он равнобедренный с основанием-гипотенузой BC и боковыми сторонами-катетами

CH = HB = 6.

4. Подставим в формулу площади трапеции

$\text{[math]}$

значения AB = 7, CD = 1, CH = 6:

$\text{[math]}$

Ответ: 24.

Задание 3 Равнобедренный треугольник: вычисление углов

В треугольнике ABC AC = BC, AH — высота, cosBAC=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Найдите cos BAH.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Отметим, что △ABC — равнобедренный по условию (AC = BC), поэтому ∠BAC = ∠ABC = ∠ABH.

Из этого следует, что cos ABH = cos BAC.

Косинусом угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе, поэтому

$\text{[math]}$

Синусом угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего углу катета к гипотенузе, поэтому

$\text{[math]}$

Таким образом $\text{[math]}$

Требуется найти cos BAH.

2. Для синуса и косинуса угла выполнено основное тригонометрическое тождество:

$\text{[math]}$

Вычтем из обеих частей равенства $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Выразим cos BAH:

$\text{[math]}$

Так как угол BAH является углом прямоугольного △ABH, то cos BAH > 0.

$\text{[math]}$

Из пункта 1 и условия

Ответ: 0,5.

Задание 4 Прямоугольный треугольник: вычисление углов

В треугольнике ABC угол C равен 90◦, $\text{[math]}$

Найдите tg B.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90◦. Поэтому в треугольнике ABC

A + B = 90◦.

Выразим угол B: B = 90◦ −A.

Поэтому tg B = tg(90◦ − A).

По формуле приведения tg(90◦ − A) = ctg A.

Котангенс угла A можно вычислить по формуле:

$\text{[math]}$

2. Для синуса и косинуса угла выполнено основное тригонометрическое тождество:

$\text{[math]}$

Вычтем из обеих частей равенства $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Выразим cos A:

$\text{[math]}$

Так как угол A является углом прямоугольного △ABC, то cos A > 0.

$\text{[math]}$

По условию $\text{[math]}$

3. Подставим значения sin A и cos A в формулу

Ответ: 2,4.

Задание 4 Прямоугольный треугольник: вычисление элементов

В треугольнике ABC угол C равен 90◦ , $\text{[math]}$ , AC = 6,4.

Найдите BC.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Рассмотрим тангенс угла A. Тангенсом угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего углу катета к прилежащему, поэтому

$\text{[math]}$

Тангенс угла A можно также вычислить по формуле

$\text{[math]}$

Воспользуемся равенством $\text{[math]}$

и, умножив обе части равенства на AC, выразим искомую длину BC:

$\text{[math]}$

2. Для синуса и косинуса угла выполнено основное тригонометрическое тождество:

$\text{[math]}$

Вычтем из обеих частей равенства $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Выразим sin A: $\text{[math]}$

Так как угол A является углом прямоугольного △ABC, то cos A > 0.

$\text{[math]}$

По условию $\text{[math]}$

3. По условию AC = 6,4. Подставим AC, sin A и cos A в выражение для BC, полученное в пункте 1:

Ответ: 4.

Задание 5 Прямоугольный треугольник: вычисление элементов

В треугольнике ABC угол C равен 90◦ , CH — высота, AB = 15, $\text{[math]}$

Найдите AH.

Разбор задания Свернуть

Пояснение

1. Рассмотрим треугольник ACH. Он прямоугольный, так как по условию CH — высота △ABC. Косинусом угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего углу катета к гипотенузе. Поэтому

$\text{[math]}$